Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Г. Д ре ссе Л ыпу*. М. Д рессе.! h.rai/!
Здесь ось Z выбраыа вдоль направления магнитного поля, длина нолны А такова, что
а коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения имеют вид
|<х. а+] 1, [а, а]-[а+, а+\ -О. Действие операторов на волновую функцию ип гармонического осциллятора в состоянии п приводит і; следующему изменению этой волновой функции:
Un=-Vп |-1 ип+ aU71 = V tiling.
Для иллюстрации способа квантования гашільтоншша аффективной массм рассмотрим рлучаі'т простой зоны с квадратичным законом дисперсии. Выразим кх и к„ через операторы рождения и уничтожения:
(Щ
Тогда гамильтониан примет вид
Собственные значения этого гамильтониана таковы:
».w-^Fi^+«]-
Такой же результат был получен ранее посредством правил квантования Бора — Зоммерфельда с выбором фазового сдвига б = = 'Д. Квантование гамильтониана (8) двухтонной модели также осуществляется путем подстановки вместо и ку повышающих и пониж-ающих операторов. В этом выражении операторы оказываются под знаком квадратного корня, так что это выралсение следует понимать как соответствующий ряд разложения корня но степеням этих операторов, В такой простой модели бесконечный ряд может быть точно диагонализирован и результат выражается в замкнутом виде, даваемым формулой (2(J) с фазовым сдвигом б = у2.
Квантование гамильтониана эффективной массы, представленного в виде ряда Фурье, приводит к задаче, решение которой требует применения теории возмущений- Тригонометрические Гл. 8. M" г н em оо п тиче г ки с эффекты в твердих телах
329'
функции, в аргумент которых входят повышающие и понижающие операторы, следует понимать как соответствующие ряды по степеням этих операторов. Поэтому ряд, описывающий гамильтониан эффективной массы, весьма папомикает {к р)-теорию воз-мущепип. Но такой подход дает некоторые преимущества по сравнению с обычной (к • р)-теорией возмущений. Во-первых, разложение в нашем случае производится лишь по двум переменным, оси изменения которых перпендикулярны магнитному полю, так что гамильтониан. представленпый рядом Фурье, дает более полную зависимость от U1 для уровней Ландау. Эта особенность весьма существенна, поскольку вдоль оси kz имеются по меньшей мере дне критические точки (т- е. точки, в которых: dE/dkz = = 0). Таким образом, уровни Ландау учитывают все критические точки, тогда как обычный вариант (кр)-теории возмущений по своей сути мо;кст описать только одну такую точку. Во-вторых, в нашем с.мучае оказывается возможным полнее описать зависимость от Iez нешраболических членов, которое возникают из членов ряда по степеням операторов, имеющих степень выше второй.
Представим гамильтониан эффективной массы в случае зоны S-типа в простой кубической решетке первыми членами ряда Фурье:
$? =! -уо -г- 71 [c-(>safcx + cos afe„ |-cosafej|. {34)
После подстановки повышающих и понижающих операторов этот гамильтониан разобьется на совокупность членов, диагональных в представлении осцилляторпых функций, и на совокупность недиагональных члепов. Совокупность диагопальных членов будем считать некозмущенным гамильтонианом. Он дается выражением
<Ша = {То
л (2/)!
У, (a+);aj, {35)
{36),
-у, COSflfcz) ~ 2yj 2 (—
І=О per
где параметр т), по степеням которого ведется разложение, имеет вид _ "leiI а2
Сумма но перестановкам содержит {2/)!/{/!)2 членов. Недиагональные члепы будем считать возмущением;
J-1
3U' 4/)1
J-, і 1^(1 jitr
Ж' 2V1 {E -щг 2 SKriH4^i
V 1T2^1 V Zj 12(2/^-1)]! ZJ
3—1
2 (a4)2'"1 {a)l,'2i+l
=0 per
+Компл. СОПрЛ . {37); 330 ' J\ Дресселъхауз. M. Дрессельхауи
¦Собственные значения вевозмущенного гамильтониана имеют вид SJP (?) - (Vo + У^ cos akt) + 2Уі {1 - -і (2п + 1) +
+ ^3(2»И + 2л-И) —-^5(4я3 + 6в* + 8д-|-3)Ч- ...} . (38)
-Здесь сохранены .чини, члены порядка т)3. Гамильтониан в фор-Jvie (34) позволяет получить полную зависимость от U1, причем расстояние между уровнями Ландау пе зависит от кг, как это мы видим в выражении (38). Если же сохранить более высокие гармоники Фурье в гамильтониане (34) [например, взять следующий член у2 їоГ) (IlO)], то расстояния между уровнями Ландау ¦будут Уже зависеть от кг, причем эта зависимость будет тригонометрической. Тригонометрическая зависимость энергия от kz приводит к появлению нескольких критических точек; так, у выражения (38) имеются две критические точки: kz = 0 и кг = + я/я.
Оператор возмущения (37) связывает состояние п с состояниями п ± H, І=- І, 2, ... . Матричные элементы наинизшего порядка пропорциональны т)2:
(п 4- 41 Se' I») - 2у, -?- К»4-1) (и т 2) (п -I- 3) (п + 4)]1/й,
3 (Щ
(в — 4 I ©Г 1 и) =• 2YijJr (п~ l) (п~ 2) 3)11/2' так что поправка к энергии пропорциональна т)3:
Шп (? = (ft*) + 2?116п3 + 23"а + 56п + 241 ¦ ^
Разложения (38) и (40) сходятся при Tjra <С 1. Если обозначить •через пьг наивысшее занятое состояние (или значение п, соответствующее энергии, равной энергии Ферми Ef), то Iinf. » г» EfIIE (niа) — E (O)I-1, где | E (я/а) — E (0) j есть ширина запрещенной зоны. Таким образом, для одновалентных металлов Tjrtj? a? 0,9 и ряды (38) и (40) будут еще сходящимися. В случае уровней Ландау, для которых rjnssl, сходимость ряда можно улучшить, если провести разложение вб.ЧИЗИ Другой критической точки, ku. (? паїпем примере считалось k0 = 0.) При этом повышающие и понижающие операторы выражаются через (к — к0):
