Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для иллюстрации применения метода Латтинджера в схеме сильной связи рассмотрим случай энергетических зон s- и р-типа в простой кубической решетке. В табл. 1 приведены элементу симметрии и характеры точечной группы такой решетки в обозначениях Буккарта, Смолуховского и Вигпера [8]. В табл. 2 указаны симметризованные базисные матрицы (ге), полученные из
произведепий матриц момента количества движения в степени не более чем третья (Tl 3), в соответствии с неприводимыми представлениями Г* кубической группы. Индексом а отмечены вырожденные функции, преобразующиеся по Двух- или трехмерному представлению Г^ кубической группы. В табл. 3 даны сим- Таблица 1
Характеры малых представлении Г, ІІ, II
к К SCs 8C's гсъ Sc г EC4 GC4 ССг JR
14 1 1 1 1 1 1 1 1
г2 1 1 1 1 1 —1 -1
Г,2 2 2 _1 -1 0
^ ! 5' 3 3 0 0 1 1 -1
Г25- 3 3 0 0 -1 -1 —1 1
1Y 1 1 1 1 1 1 1 1
Ту rl2. 1 1 1 1 1 —1 —1 — 1
2 L. —1 -1 г (JR) = -X (Я)
г,І 3 3 0 0 —1 1 1 — 1
T25 3 3 0 0 -1 —1 —1 1
rt 2 —2 1 -1 0 Yz -1/2 0
It 2 -2 1 -1 0 -V 2 У2 0
Ц 4 -1 1 0 0 0 0
JV 2 -2 1 -1 0 У-г -V2 0
г? 2 -2 1 -1 U -У2 У2 0
г» Л -1 1 0 0 0 0
Табли Ifii 2
Симметрвзованные произведения проекций оператора момента количества движения для кубической группы
Пори-док Представление Обоэнаомше Симметі! И 30 B3J і U ое" Про из ПЄЛС11 ие
0 Г, ^r1 (°) 1
1 Г15* Sx
2 1-12 ]2 У <Гі'П W S*+ti>S* + e>*Sl (V ад
3 Г2 Г,5- T25- (? (3) «і Гл. Н. AIагпстоа гітичгскш: эффекты в твердых телах 321
Таблица 3
Слмнетризовапные фурье-компоненты для простой кубической решетки
Il Представление Обозначение СимметриJOпа 1 цJNе Фурье-компоненты
а (ООО) г, 4STl (<хх)) 1
а (100) Г, %Tl (100) CnS akx [- cos аку | cos akz
г,Z 8? (100) eg? IiAjc+ ш cos аку | ш2 CosaAz
J'is (100) sin акх
a (IlO) г, 'ёГ1 (1W) cos а (ку .[ кх) -1- cos а (Ay—A2)-; cos а (кг -| кх) • — cos a (kz — А-ж) + cosa (fcjc-) к у) + со? а (кх~ку)
%{г\{ (И0) fcos a (Ay -L kz) -L cos а (ку -Az)] + -1-11) fcos а (A2-г Aa.) ^cns a (Jcz-AJj I-Oi2 fco» а (кх -i-ky) + cos а (кх _ Aft)]
T15 ^rlI sill а (кх к у) + sin а (кх —ки) + sill а (кх-\- kz) -I-STBa (кх-kz)
1"2D 'S1rVi (НО) sin a (A^-j ку) -Lsinа (кх- - ку) — sin я (кх kL) — — sin а (кх - kz)
г;, (110) cos а (ку I Jcl) — cos д (ку — Az)
a (IlL) Гі (Ш) со? а (А,. -'- к у -)- к г) -I- cos a (кх — ку — Az) -|--|-(M)S а ( - - кх \-ку — A2) |- ens а ( — кх—ку + A2)
П Kr^ (Hl) Sina (Ад. + ку |-Аг)+ sin а (кх~ ку —kz) + -|- sin а (_ Ад + Аг, — кс)-\ sin я ( -Icx-ку -A2)
Гі5 ^rlI (111) sin її (кх + ку + kz) + sin а (кх — к у — к2) — -sin«.(-/% \-ку — A2)-sin a (-Ax _ Ay + к2)
їй ^5(IU) с,ос, а (кх - '--ку + A2) + Cus а (кх — к„ — Аг) _ — i'os а ( —A*---Ay-A2) —cosа { — кх—ку -Г A2)
метризованные фурье-компонентьі 'Й^:1 (її) также в соответствии с неприводимыми пред ста Qj1C пия м и I'j при «1 = а (ООО), а. (ЮО) а (110) и а (111), где а — постоянная решетки. Индексом ?
21—1289 322 ' Г. Дрессельхауз, M. Дрессельхауз_
отмечены вырожденные функции, преобразующиеся но представлению I1J. Величины ка следует рассматривать как операторы, вообще говоря, не коммутирующие друг с другом и преобразующиеся как полярные векторы. Гамильтониан должен быть записан как сумма произведений симметризованных базисных матриц ^г*/ ('0 и соответствующих симметризованных фурье-компонент (d). Тем самым будет обеспечена инвариантность гамильтониана эффективной массы SBt при операциях симметрии точечной группы. Оператор SS1 представляет собой матрицу формата (I X которая определяется выражением
^i=IJ D (і), (13)
i=l
в котором
W^rl(J), (U)
d
D (2) = S < (d) S (1) (d), (15)
D (3) S № (U) S ^f2 (2) (d)f +
в и
+ <(d)S^(2)®K(d)}, (16)
D (4) - S (d) (3) %уг (d) [¦ d
+ (d) S -? (3) «ft (d) + (d) S Щ (3) Kl (d)l ¦ (17>
Матрицы vP^i («) эрмитовы и непосредственно получаются из матриц формата (I X 0 момента количества движения при спине (I — 1)/2. В силу эрмитовости (a^pV (п) и СЛ>[ зонные параметры арЛ) (d) вещественны.
При отсутствии магнитного поля гамильтониан эффективной массы должен быть инвариантным по отношению к операции обращения времени. Оператор инверсии времени преобразует момент количества движения S в — S, волновой вектор к в —к. В случае кубической группы, обладающей центром инверсии, величины D (2) и D (4) должны быть тождественно равными нулю, так как входящие в них (d) четны по огпошению к обращению времени. В случае же кубических кристаллов, не имеющих центра инверсии (например, антимонид индия), соответствующие величины D (2) и D (4) не обращаются в нуль при обращении времени, что приводит к снятию крамерсова Гл. 8. Магнетооптические эффекты в твердых телах
323
вырождения. Даже в кубических кристаллах с центром инверсии крамерсово вырождение снимается при включении магнитного поля и величины D (2) и D (4) не исчезают благодаря симметрии по отношению к обращению времени. В частности, симметризован-яап фурье-комнопепта (d) оказывается пропорциональной коммутатору \ky, fcz] = еНblich и нри обращении времени должна
