Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
32,э
§ 2. ГАМИЛЬТОНИАН В МЕТОДЕ ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ
Одноэлектронный гамильтониан, содержащий периодический потенциал кристаллического поля Vv (г), имеет блоховские решения
C^iM (Г)= En (/с) Ifwt (Г). (1)
Нак показал Латтинджер [1], гамильтониан электрона в магнитном поле можно получить, заменив в энергии En (к) квазиволно-вой вектор к оператором—i\r + (e/ftc)-A, где А — векторпый потенциал магнитного поля. Любое медленно меняющееся в пространстве возмущепие, которое зависит только от координат электрона, можно рассматривать как потенциальную энергию W (г) в гамильтониане метода эффективной массы, который для «-Й зоны имеет вид
Iе" ( - ^ + ТБГ А) + Т (г)] Ф С) - (0- (2)
Волновая функция метода эффективной массы <р (г) связана с истинной волновой функцией электрона Чг (г) соотношением
Y(r)= 2<p(A)iU(r), (3)
к
где (р (к) — фурье-образ функции rp (г). В теории полупроводников при решении задачи примесного центра [21 или экситона [31 потенциальная энергия cF (г) велика, поскольку она описывает кулоновское взаимодействие. В нашей же статье метод эффективной массы в форме (2), (3) будет применяться главным образом к металлам, где потенциальная энергия менее существенна. Энергетические уровни, которые получаются при решении уравпе-ния (2), зависят от ряда параметров, характеризующих энергетические зоны твердого тела- Поэтому любой эксперимент, в котором проявляются энергетические уровни гамильтониана метода эффективной массы, дает сведения о цараметрах зонной структуры. Наиболее общая классификация энергетических зон в данном кристалле производится на основе свойств симметрии кристалла, позволяющих определить степень вырождения различных энергетических уровней.
При построении гамильтониапа в приближении эффективной массы обычно пользуются двумя методами: (к-р)-теорией возмущений І4І (разложением в ряд Тэйлора) и приближением сильной связи [5] (разложением в ряд Фурье). В (к-р)-теории возмущений гамильтониан метода эффективной массы разлагается в ряд по степени квазиимпульса вблизи некоторой точки зоны Бриллюэна, обычно ТОЧКИ С ВЫСОКОЙ симметрией, где имеется экстремум энергетической зоны. Такой подход особенно выгоден в случае 316 t Г. Дрссселъхауз, M. Дресселъхауз
полупроводников или полуметаллов, ибо здесь уровень Ферми проходит вблизи экстремума зоны и ряд быстро сходится. В таких случаях можно ограничиться лишь членами второго порядка, и гамильтониан метода эффективной массы оказывается квадратичной формой, весьма простой с математической точки зрения. В другом предельном случае, когда расстояние между экстремумом зоны и уровнем ферми сравнимо с шириной зон, разложение (к-р)-теории возмущений сходится плохо и поэтому практически непригодно. Этот случай соответствует большинству металлов первой Группы. Здесь предпочтительнее пользоваться методом сильной связи (или разложением в ряд Фурье), который дает результат, применимый ко всей зоне Бриллюэна. При таком подходе параметры эффективного гамильтониана, определяемые из эксперимента, оказываются непосредственно связанными не с тензором эффективной массы, а с ширинами разрешенных и запрещенных зон. Такие более общие параметры зонной структуры можно определить по оптическим данным, которые позволяют судить о располол«ении энергетических зон в окрестности определенных точек высокой симметрии. В подобных критических точках ряд Фурье можно разложить в ряд Тэйлора и перейти к обычной (кр)-теории возмущений. Таким образом, даже в случае полупроводников или полуметаллов, к которым применима (к-р)-теория возмущений, пользуясь разложением Фурье, можно найти связь между параметрами в отдельных точках зоны Бриллюэна. Иногда оказывается выгодным комбинированный подход. Так, например, в случае графита [0] вдоль оси симметрии проводится разложение в ряд Фурье, а к плоскости, перпендикулярной этой оси, применяется (к • р)-теория возмущений.
1. Применение (к р) -теории возмущении вблизи некоторой точки зоны Бриллюэна. Разобьем одноэлектропный гамильтониан на невозмущенную часть
^-lar + MO + ^r <4>
и возмущение
^i-IT- (5)
Поправка к энергии невырожденного края зоны при k = 0, содержащая члены теории возмущений вплоть до второго, имеет вид
Ei(*) (0)-і ;4S*»№1 р-1
а
, ^2VlV) 1 № I Pa I ^j) (Ф/I I 1W /еч + -E1 (*)-Ij(O)- . (6)
І a. ? Гл. 8. Магнетооптические эффекты, « твердых телах
32,э
где индексы а и ? относятся к проекциям на оси г j и z, а индекс } — номер зоны, причем / ¦ф і. Мы пользуемся здесь вариантом теории возмущепчй Бриллюэна — Вигнера, который отличается от обычного варианта Релея — Шредингера тем, что в энергетический знаменатель выражения (?5) вместо невозмуіценной энергии Ei (0) входит возмущенная энергия Ei <Jt). Тем самым автоматически учитываются эффекты неиараболичпости энергетических зон. ТаЕше эффекты иллюстрируются в § 3 па примере висмута. В приложениях (к-р)-теории и конкретным твердым телам оказываются возможными упрощения вследствие симметрии кристалла. Например, в случае кристалла кубической симметрии, имеющего простой экстремум, при k = 0 мы имеем
