Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
і
откуда в двухзонном приближении получаем
і 1^(0) + ? (O)I+ { {1? (O)-^(O)I1 + ^l
(8)
сохраняя лишь один член в правой части выражения (7), который относится к зоне /- В трехзонном же приближении сохраняются лишь два члена из суммы, и мы приходим к кубическому уравнению для E (k). В случае когда имеется вырождение зоны при k = 0 (как, например, для р-зоп), следует применять теорию возмущений Вигнера — Бриллюэна для вырожденного состояния. Тогда для кристалла кубической симметрии получим
Akl В (AJ + Щ-E Ckxky Ckxkz
Скхку Akl+ В (kl+ kl)-E CkttIct =0,
Ckxkz Ckykz Akl -| - В (к% +kl)-E
(9)
где константы Л, В, C1 введенные Дрессельхаузом, Іїином и Кит-телем І7І, выражаются через суммы по промежуточным состояниям.
Закон дисперсии для какой-либо энергетической зоны кристалла характеризуется несколькими «зонными» параметрами.
- Число независимых параметров определяется симметрией кристаллической решетки, а их значения можно пайти по экспериментальным данным. Примером таких параметров могут служить параметры, которые входят в приведенные нами законы дисперсии для простых зон s-тица и выроя<дениых зон р-типа в кубическом кристалле. Так, соотношение для невырожденных зон содержит •один параметр — эффективную массу т*, определяющуюся еоот- 318 t Г. Дрссселъхауз, M. Дресселъхауз
ношением
mf т Zj Ei(K)-E j(0) '
і
причем тІ, вообще говоря, зависит от Ь, поскольку в знаменателе в правой части выражения (10) стоит величина Ei (к). Зонные параметры, описывающие две сильно связанные невырожденные зоны !соотношение (8)1,— это ширина запрещенной зоны E1 (0) — — Ej (0) и матричный элемент импульса | п^ |, причем ни один из параметров не зависит от к. Вырожденная зона р-типа в кубическом кристалле характеризуется тремя параметрами А, В и С, которые, вообще говоря, зависят от к.
2. Разложение En (к) й ряд Фурье. Такое разложение удобно иллюстрировать, рассматривая расширенное к-пространство. Наклон энергетических зон на границах зоны Бриллюэна равен нулю. Это граничное условие для энергетических зон позволяет рассмотреть расширенное к-нространство, в котором первая зона периодически повторяется вокруг каждого центра обратной решетки. В таком пространстве энергетические зоны будут периодически непрерывными функциями с нулевыми производными на границах зоны Бриллюэна. Для твердых тел. которые не кристаллизуются в простые решетки Бравэ, например для алмазопо-добных структур, необходимо соответствующее обобщение такой расширенной зопной схемы.
Разложение в ряд Фурье функции V (т), которая является периодической функцией в прямой трехмерной рещетке, имеет вид
= (її) x
где к — векторы, связапные с векторами обратной решетки G соотношением X = 2JtG, а суммирование производится по всем векторам обратной решетки, В расширенной зонной схеме энергия En (к) представляет собой периодическую функцию в трехмерном пространстве, определяющемся векторами обратной регаетки. Следовательно, энергию En (к) можно представить в виде ряда Фурье
= (12) d
в котором суммирование производится по всем векторам d прямой решетки. Симметрией кристалла определяется минимальный набор независимых зонных параметров е (d) и симметризованные линейные комбинации плоских волн eikкоторые называются симметрированными фурье-компонентами. Гл. 8. Магнетооптические эффекты, « твердых телах
32,э
Латтинджер [1] предложил метод построения гамильтониана эффективной массы, основанный исключительно на свойствах симметрии кристаллической решетки, и применил этот метод, для расчета энергетических зон германия и кремния вблизи k = 0. Хотя предложенный им метод был применен только к разложению (к-р)-теории возмущений, он применим к любому разложению. В частности, мы применим его к разложению в ряд Фурье.
В методе Латтинджера используется точечная группа симметрии кристалла. Его можно обобщить и на случай твердых тел, не кристаллизующихся в простые решетки Вравэ. Чтобы воспользоваться кристаллической симметрией, в методе Латтинджера (n X R)-компонентная матрица гамильтониана эффективной массы представляется в виде суммы линейно независимых произведений матриц момента количества движения. Например, гамильтониан, представляющий собой матрицу формата (2 X 2), записывается в виде суммы членов, пропорциональных четырем базисным матрицам Sx, Sy. Sz и 1, где 1 — единичная матрица формата (2 X 2), a Sx, Sy и Sz — матрицы проекций момента количества движения при спине, равном у2. Если гамильтониан — матрица формата (3 X 3), то он представляется в виде девяти членов, пропорциональных линейно независимым базисным матрицам It Sx, Sy, Sz, S2y, {Sv, Sz}, {Sz, Sx), (^jct Sy),
где 1 — единичная матрица формата (3X3), a Sx, Sy, Sz — матрицы проекции момента количества движения при спине, равном 1, и (Sit Sjj — антикоммутатор таких матриц. При операциях точечной группы матрицы момента количества движения преобразуются, как компоненты аксиального вектора, тогда как гамильтопиан эффективной массы должен быть инвариантным. Поэтому необходимо составить произведения симметризованпых комбинаций п базисных матриц, полученных из матриц момента количества движения и соответствующих симметризованных комбинаций фурье-компонент, так чтобы полученный гамильтониан был инвариантным.
