Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку к0 — постоянный вектор, коммутационные свойства ¦а4- и « не зависят от того, вблизи какой критической точки про-
(41) Гл. 8. Магнетооптические аффекты е твердых телах ' 331
изводится разложение. Разложение вблизи другой критической точки будет сходным по форме, а к0 выбирается так, чтобы ряд быстро сходился.
Полное число уровней Ландау определяется из того условия, что полное число состояний в зоне Бриллюэна должно быть таким же, как и при магнитном поле, равном нулю. Поэтому для определения полного числа уровней Ландау для данной энергетической зопы следует найти степень вырождения каждого уровня Ландау, что и будет Сделано ниже.
3. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Расчет различных электронных свойств твердых тел связан с суммированием по состояниям электронов. Поскольку число таких состояний велико (~1022), суммы обычно заменяются интегралами по зоне Бриллюэна и соответствующие весовые множители в интегралах — плотности состояний. Интегралы обычно содержат фермиевскую функцию Ja (E)1 так что оказывается удобным перейти от интегрирования но | к [ к интегрированию uo Е, чтобы воспользоваться ступенчатым характером фермиевской функции.
Объем зоны Бриллюэна равен 8я3Дг, где JV — величина, обратная объему кристаллической ячейки. Когда магнитное поле равно нулю, замена переменных интегрирования производится путем подстановки
2 dh J_ *» sinfldO d<y -
(2л)» 4яЗ' ЩЩ ' (4^
где 0, <р, к¦— полярные координаты в к-прострапстке. При сферически-симметричном законе дисперсии интегрирование по 9 и <р выполняется элементарно и плотность состояний имеет вид
Точки зоны Бриллюэна, соответствующие экстремумам энергетических зон, называются критическими точками. Критические точки электронных энергетических зон были классифицированы Филлипсом [17]. Эти точки являются особыми точками производной др/дЕ.
Вероятность оптического перехода между электронными состояниями в зонах 1 и 2 с учетом законов сохранения энергии и импульса имеет вид
W 2 = ~ ( )2 J dktdk2 I (фIkl I pAon.t I Ihk,) IsSfk1- k2) X
X S (Ey (kJ-E2 (k2) -Іш) /о (Ei (к,)) [1 -f0 (E2 (k2))], (44) Г, Дрессельхацэ. .W. Дре.сеглъхауя
где Аолт — векторпый потенциал электромагнитной волны с круговой частотой со (волновой вектор света считается пренебрежимо малым по сравнению с волновым вектором электрона). Функции Ферм к дают вероятность того, что состояние зоны I запито, а зоны 2 — свободно, В случае заполненной валентной зоны и пустой зоны проводимости имеем
x j W1111 IpA011t ji^k, )[2. (45)
Здесь к,, следует виразить через энергию Ш из равенства Ш -— S1 (кі) — E2 (кі). Для оптического поглощения удобно определить плотность состояний
P' юdE --W wak,)l?*M-B2l*l)} • (46>
С критическими точками оптической плотности состояний [т. е. с такими точками, где (?/r')kt) (E1 (fc,) — E2 (/с,)) = 0] связаны характерные особенности оптических свойств кристаллов. В точках: с высокой симметрией часто обе зоны Ei и E2 имеют экстремумы, таї« что такие точки оказываются критическими как для р (E), так и для ру (?). Иногда у ру (?) имеются случайные критические точки, в которых наклон обеих зон одинаков и не равен нулю.
Плотность состояний в магнитном поле изменяется вследствие дискретности энергетических уровней, соответствующих движению поперек магнитного поля, Но критические точки, существующие при магнитном поле, равном нулю, сохраняют важное значение и при ненулевом магнитном поле. Уровни энергии в магнитном поле характеризуются тремя квантовыми числами п. кц, Icz, где п — целое число, нумерующее состояние гармонического осциллятора 0 ^ п ^ ки — волновой вектор, характеризующий положение центра осциллятора (—/./2 <; JeyX- ^ L/2), кг — волновой вектор вдоль направлепия ліагнитного поля (—л/я <С < кг «С я/а). Предельное квантовое число п0 будет определено ниже, Таким образом, вместо интегрирования по зоне Бриллюапа теперь будем иметь
по Ь/2Л2 Sijri
J Wdk-WTl' J j (47)
Поскольку энергия, вообще говоря, не зависит ОТ Iill (если Hpe-пебречь угиирением уровней Ландау), то интегрирование по ку выполняется непосредственно. Вместо интегрирования по кг Гл. H. Маг>іетоолтическче эффекты я ,лвердцх телах 333
перейдем к интегрированию но энергии;
J "(2Нр-rfk ^ ~кг S S жты^г' (48)
з D n=l) g-B(0)
Предельное
квантовое число п^, характеризующее максимально возбужденное состояние осциллятора, определяется из условия равенства полного числа состояний на уровнях Ландау полному числу состояний в зоне Бриллюэна. Предельное число п0 будет тогда решением уравнения
"О $п(Л/н)
Л " ^ ЛЙ" TT j д%п (kz)jokz ¦
Имен в виду, что Ntl = 2/а3, а щ — целое, можно заключит?», что это уравнение не будет иметь решения при любом Я, поскольку правая часть (49) при целом представляет собой осциллирующую функцию напр н -,кенности магнитного поли Н. Эта трудность, с которой связано суммирование по состоя нин м, существенна лишь в очень сильных магнитных нолях. IIo сильное магнитное иоле цере.мешивает состояния различных йон, так что в предельном CJiynae сильны х' полей уже нельзя вводить гамильтониан эффективной массы,
