Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
t2
x = (v cos а)t; у = h + (v sin a)t - g.
Траектория мяча должна проходить через точку A, поэтому
x = s; у = H.
Из системы приведенных уравнений получим
„2
H = h + s tg а - g —-----—
2и2cos2а
Y /¦''s
/ S / ч
/ \
/ і / \ \ —\ і \
T ’ Я V \ \ \
і \ \ , і
O « »| Y
~ s
Рис. 1.8.12
(1)
и выразим начальную скорость
2cos2а(stga + h - H)
(2)
Скорость будет минимальна, если знаменатель z = 2cos2 a (s tg a + + h - H) будет максимален.
2
2
v=
427
Исследуем функцию z на экстремум. Для этого возьмем производную от z по а и приравняем ее к нулю:
(za) = (2cos2 a (s tg а + h - H))a = 0,
откуда
a = arctg VH-h + ЛH-h) + 82
v s
а из (2) находим v d 7,7 м/с.
Ответ: скорость будет минимальна при а v d 7,7 м/с.
50,6°,
50,6° и равна
1.8.24. Выберем систему координат и построим траекторию движения, как показано на рисунке 1.8.13. Запишем закон движения тела на первом участке AB траектории движения:
(1)
Проекция скорости движения на ось
Рис. 1.8.13
vy = -gt
(2)
Для точки B (t = tj, y = h, v = V1) уравнение (1) примет вид:
2
h = H - g—-, откуда найдем время движения до точки B:
t1 =
(3)
Подставив уравнение (3) в (2), найдем проекцию скорости: vjy = -gtj = -gj2iHrjhl = ^2g(H - h) и модуль скорости
vj = V2g(H - h). (4)
Так как в точке B тело ударяется упруго, то модуль скорости после удара не изменяется и угол падения равен углу отражения. Следовательно, после удара скорость тела будет равна v1 и направлена под углом P (Р = 90° - 2а = 90° - 2 • 30° = 30° = а) к горизонту, поэтому на втором участке траектории BC тело движется по параболе, и закон движения будет иметь вид:
x = (v1cos P)t; (5)
У = h + (v1 sin P)t - g- .
(6)
g
428
В точке падения С (t = t^, y = 0, x = s) уравнение (6) примет вид:
,2
0 = h + (V1 sin p)t2 - ^2,
откуда
V1 sin в + Jv2l sin2в + 2gh
t2 -------------------------- ;
2 g
с учетом (4) и условия P = а получим
. = J2g(H - h) sin а + 42g(H - h)sin2а + 2gh /7)
t2 ----------------------g------------------- ()
(отрицательный корень физического смысла не имеет).
Находим время движения тела:
= 12 (H - h) + J2g(H - h) sin а + 42g(H - h)sin2а + 2gh . g g ;
t = ( \2(4 - 2) + 42 • 9,8(4 - 2) • 0, 5 + 42 • 9,8(4 - 2)0, 25 + 2 • 9,8 • 2 с t W 9,8 + ------------------------9,8------------------------- 1 ^
d 10,1 с.
Дальность полета найдем из уравнения (5) с учетом (7):
S = J2g(H - h) ^2g(H - h) sin а + Jjg(H - h)sin2а + 2 gh .
s = V2 • 9,8(4 - 2)
g
42 9, 8(4- 2)0, 5 + 42 • 9,8 ( 4- 2) 0,5 2 + 2 • 9 , 8 2 9 ,8
d 5,6 м.
Ответ: t d 10,1 с, s d 5,6 м.
1.8.29. Мальчики бросают предметы одновременно, поэтому время полета коробка и камешка до столкновения одинаковое. Это
время можно найти из соотношения t = v . Так как предметы стал-
g
киваются в точке наивысшего подъема коробка, то начальная скорость коробка и вертикальная составляющая начальной скорости камешка одинаковы, т. е. иверт = v. В горизонтальном направлении камешек движется равномерно, поэтому горизонтальную составляющую начальной скорости найдем из соотношения
s = u t. u = s = sg s uTOpt; urop t v .
429
Начальная скорость камешка
= Vи2тор + и2верт = vJ1 + (= 9Д м/с.
Ответ: и = 9,1 м/с.
1.8.30. Пусть t0 = 0 — момент третьего удара шарика о пол. Так как удар идеально упругий, то после каждого удара вертикальная составляющая скорости шарика
. (1)
высота поднятия первого шарика будет изменяться по закону
hi = vyt - —t, (2)
а высота опускания второго шарика
h2 = h - —t . (3)
В момент столкновения шариков
hj = h2. (4)
Решив систему уравнений (1)—(4), найдем высоту, на которой шарики столкнутся:
hCT = т h = 0,9м.
К моменту столкновения по горизонтали первый шарик переместится на расстояние
Sj = vj(t0 + tj), (5)
а второй — на расстояние
S2 = v2tj, (6)
где
tI=M (
* ,і I2h
— время совместного движения шариков, а t0 = 4^ ~ — время движения одного первого шарика. В момент столкновения
s 1 = S2. (8)
430
Решив систему уравнений (5)—(8), найдем начальную скорость второго шарика
U2 = Ilv1 = 11 м/с.
Ответ: йст = 0,9 м; U2 = 11 м/с.
1.9.6. Встреча точек 1 и 2 может произойти только в начале ко-
X1
ординат. Время движения точки 1 к началу координат равно t-. = — =
1 v-
= 5 с. Время движения точки 2 к началу координат t2 = —1 = 1,25 с.
v2
Так как ti ф t2, то точки не встретятся.
Законы движения точек: x1(t) = x0 - v1t ; y2(t) = y0 - v2t. Расстояние между точками
s(t) = JxI + УІ = «Дx0 - vit)2 +(У0 - v2t)2.
Приведем данное выражение к виду:
s(t) = ,J(v1 + v2)t2 - 2(x0vi + У0v2)t + (x0 + y0).
Экстремум данной функции совпадает с экстремумом подкоренного выражения. Под корнем стоит квадратный трехчлен вида y = at2 + bt + с. Значение t, при котором достигается экстремальное значение квадратного трехчлена, определяется выражением
t =_ b = _ -2(x0v 1+У0 v2) = X0 v1+y0v 2
