Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
max (min) 2 a n , 2 2, 2 2 .
2 a 2(v- + V2) V- + V2
Если у трехчлена коэффициент a >0, то трехчлен имеет мини-
22
мум; если a <0, то — максимум. В нашем случае a = Ui + U2 >0, поэтому подкоренное выражение имеет минимум при
_ x0vi + У0v2 _ 10 • 2 + 5 • 4
4 + 16
с = 2 с.
Следовательно, минимальное расстояние между точками:
Smin = Ix 0 V2 - У 0Vl| = I10- 4- 5 2 см= -30. см = ^Тб см.
Vvf+vi ^20 2^5
Ответ: точки 1 и 2 не встретятся; Smin = 3 л/б см.
22
V + Vo
i2
431
1.9.9. При h = 2r скорость самолета в точке B (рис. 1.9.1):
vi B
vC
C
Рис. 1.9.1
v0 V0 2 „ „
v^ = — или — = vn - 2an • 2r,
1 2 л 0 0 ’
3
3 Vo
откуда радиус окружности r = — — .
16 ^o
Найдем скорость самолета в точке C:
2 2 о 5 2
vC = v0 - 2a0r =5 v0 .
Ускорение в точке C равно
I 2 2
. = ,Jan + аг ,
где
a = vC = 5 v2 16ao _ 10
an - 8 v
3V
= -a0, aT = dV . 2 3 0 T dt
Продифференцируем по времени выражение v2 = v0 - 2a0b, получим
2v — = 0 - 2a0 — ^ 2vaT = -2av ^ aT = - a0, dt 0 d t T T 0
/100 2 2 о ,0 i2
aC = J ~9~ a« + a о = 3,48 м/с2.
Ответ: ac = 3,48 м/с2.
a
Глава 2. ДИНАМИКА
2.1.5. По второму закону Ньютона F = ma, где a = v — ускоре-
ние поезда. Поэтому F = m v , откуда
v = — =11,75 м/с.
m
432
Путь, пройденный поездом до остановки, найдем из соотно-
12
шения s = a2 . Подставив в него выражение для ускорения, получим
F t2
s = — - =352,8 м. m 2
Ответ: s = 352,8 м.
2.1.6. Силу, действующую на тело, можно найти из второго закона Ньютона F1 = ma-i, где m — масса тела, aj — его ускорение в момент времени tj = 3 с.
Для того чтобы найти ускорение, определим вначале зависимость скорости от времени, т.е. найдем производную от пути по времени:
V = (s)' = (96t - 2t3)' = 96 - 6t2; а ускорение есть производная от скорости по времени, т.е. а = (v)' = (96 - 6t2)' = -12t. Следовательно,
a1 = -12t; a1 = -36 м/с2.
Найдем момент остановки тела из условия
vOCT = 0 ^ O=96- 6t2OCT ^ tOCT = 4 с.
Ускорение в момент остановки:
aOCT = -12t0CT; aOCT = -48 м/с2,
а масса тела
F
m = —0 ; m = 0,5 кг.
a ост
Следовательно, сила, действующая на тело спустя t1 = 3 с после начала торможения, F1 = ma1; F1 = -18 Н.
Ответ: F1 = -18 H.
2.1.7. В данной задаче на частицу (рис. 2.1.4) действует одна сила F. По второму закону Ньютона F = ma.
В проекции на ось X:
F
-F = max ^ ax = - — ,
x x m
т. е. движение вдоль оси X равноускоренное, начальная скорость
v0x = v cos a,
начальная координата равна нулю, следовательно,
Ft 2
x = (vcos a)t -----------
2m
(1)
Рис. 2.1.4
433
В проекции на ось Y: Fy = 0, поэтому движение вдоль оси Y равномерное со скоростью Uy = vsin а, начальная координата равна нулю, следовательно,
y = (Usin a)t. (2)
Чтобы найти уравнение траектории, выразим время из уравнения (2): t = —У— и подставим его в (1), тогда получим уравнение
V sina
траектории
x = (vcosa)y _ Fn2 = y Ctg а _ ____F_ y2.
vsin a 2 mv2 sin2 a 2 mv2 sin2 a
Траектория движения частицы — ветвь параболы (см. рис. 2.1.4). Расстояние s найдем из уравнения
v2 - v2
S = v^Orx . (3)
Проекцию конечной скорости на ось X находим из рис. 2.1.4:
Ux = Uyctg P = Usin a ctg р. (4)
Подставим Ux, U0x, ax в уравнение (3) и получим
s = v 2 sin2a ctg2в - v2cos 2a = mv 2 (cos2 a- sin 2 a ctg2R)
-2F 2F
m
,-. mv2 (cos2 a- sin2 a ctg2 R) F 2
Ответ: s =-------і------------------------------—t-i , x = y ctga _-y2.
2F 2 2
2 mv sin2 a
2.2.5. Под действием силы трения FTp = pmg шайба тормозит:
v2
pmg = ma. Ускорение шайбы a = p,g. Ее тормозной путь I = — , скорость (по условию задачи она горизонтальна), с которой шайба подлетела к трубе: u = V2p.g1. Максимальная высота подъема
gt2 [2J1
шайбы h = ™д , следовательно, время полета tnM = . Рас-
стояние по горизонтали от катапульты до трубы s = Utnoj = = 27^5 = 0,7 м.
Ответ: s = 0,7 м.
434
2.2.26. Равнодействующая сил Fp = F + mg у (рис. 2.2.10). По теореме косинусов запишем:
Fp + (mg)2 - 2Fpmg cos 2 + a) = F2.
O
Решив данное уравнение, получим
Fp = JF2 - (mg)2 cos2a - mg sin a.
І
Fp
mg
(1) Рис. 2.2.10
По второму закону Ньютона Fp = ma, или в проекции на ось Y:
Fpsin a = may.
(2)
Решив систему уравнений (1) и (2), находим
a„=g sin a^ h m— - cos2 a -i
Высота, на которой прекращается работа двигателя:
h = ay12 = — sin a 2 2
F ) 2 I
— ) - cos2a - sin a 112 = 4068,7 м d 4,1 км.
m—J
Ответ: h d 4,1 км.
2.3.7. Зная ускорение шайбы a = g (sina-p,cosa), найдем угол наклона :
3tg = 4, cos =
JTTTg2
= 3 , sin a = 4 . 55
Ускорение во втором случае (учтем, что P = 90° - a)
a2 = gf -si
a) - ^cos [ 2 - a 11 =
J = g(cos a - p,sin a) = 1,96 м/с2.
О т в е т: a2 = 1,96 м/с2.
2.3.8. Силы, действующие на тело при подъеме и спуске, показаны на рис. 2.3.10, а, б соответственно.
В проекциях на направление движения и на перпендикулярное к нему направление запишем второй закон Ньютона: при подъеме тела