Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
H = 1 (h - g '12 =2,17 м.
2 g (t 2 )
Ответ: H = 2,17 м.
1.5.11. Направим ось OY вертикально вверх, совместив начало координат с точкой бросания. Тело на заданной высоте будет находиться дважды: при движении вверх и при движении вниз. Если обозначить данные моменты времени соответственно tj и t2, то тело будет находиться на высоте, большей h = 14,7 м, в течение времени
At = t2 - tj. (1)
Запишем закон движения тела в выбранной системе отсчета:
t2
y = u0t - g2 . В моменты времени tj и t2 координата y = h, поэтому
t2
h = v0t - gили
gt2 - 2v0t + 2h = 0. (2)
Корни квадратного уравнения (2) и есть моменты времени tj и t2:
t = v0± JvI-2gI т е
4.2 ------1----- , т.е.
tj = v 0 - JvI -2 gh , (
t2 = v 0 + JvI -2 gh . (
2 Jv0 - 2gh
Подставим выражения (3), (4) в (1) и получим At = 4 0------------ = 2 с.
Ответ: At = 2 с.
415
Y
0
Рис. 1.5.1
1.5.12. Направим ось Y вертикально вверх, начало оси — точку O — поместим на поверхности земли (рис. 1.5.1). Запишем закон движения мяча в выбранной системе отсчета:
(1)
Когда мяч достигает высоты h (это происходит дважды), то уравнение (1) принимает вид
и j. gtI h = Uti - —1
1 2
(2)
h = Ut2 - —2,
(3)
где по условию
t2 = t1 + At.
(4)
Решив совместно уравнения (2)—(4), получим
U = J2gft + g 2 t2 . U = 20 м/с.
v2
Максимальная высота подъема hmax = — = 20 м.
Ответ: U = 20 м/с; hmax = 20 м.
1.5.13. Направим ось OY вертикально вверх, тогда проекция скорости на ось OY изменяется по закону u = U0 - gt. При движении
V0
вверх проекция скорости положительна, поэтому — = U0 - gt-,,
П 01
v0 (n - 1) -, TT
откуда находим t1 = -------- = 1 с. При движении вниз проекция
1 ng
V0 V0 (n + 1)
скорости отрицательна, поэтому — = U0 - gt2 и тогда t2 = —--- =
П 02 2 ng
= 3 с.
(При расчетах принято g = 9,8 м/с2, так как число 19,6 кратно 9,8.)
Ответ: ti = 1c; t2 = 3 c.
1.5.17. Скорость падения первого шарика на землю найдем из соотношения
h = — ; и = 2 g
(1)
g
h
2
и
416
а скорость второго шарика перед падением на пластинку — из соотношения
2
(2)
После пробивания пластинки скорость шарика станет в 2 раза меньше, т. е.
v0i “2 ,
(3)
22 h V2 Vo-
и он пролетит следующую половину пути: - = -2-----------— .
2 2 §
v2 = л/v0i + 2gA .
Подставим в (4) выражения (2), (3) и получим
v = J5gh
откуда
(4)
(5)
Разделим выражение (1) на (5) и найдем, что в момент падения на землю скорость первого шарика больше скорости второго в
V_ = 2T2 =1,26 раза.
V2 J5
Ответ: — = 1,26.
1.5.18. Тело отсчета — Земля. Направим ось Y вниз, начало оси поместим в точке сброса груза (рис. 1.5.2).
а) Если вертолет неподвижен, то закон движения груза:
y = V ¦
(1)
У Рис. 1.5.2
Когда груз достигнет земли (y = a, t = ti), уравне-
,л ч и §t-
ние (1) примет вид: A = , откуда время падения
груза на землю:
ti = 72A/g; ti = 7,8 с.
б) Если вертолет опускается со скоростью v, то у груза относительно земли будет начальная скорость v, поэтому закон движения груза:
y = vt + §і_ .
2
(2)
2
2
0
h
g
2
417
Когда груз достигнет земли (y = h, t = t2), уравнение (2) примет вид:
**2
h = Ut2 + -2. , откуда
2
gt? + 2ut2 - 2h = 0.
t2 Ut2
Решив полученное уравнение, находим . = -v ±«/v2 + 2*h
t2 --------*-------
Следовательно, t2 = 7,3 с (отрицательный корень в данной задаче физического смысла не имеет, так как t >0).
в) Если вертолет поднимается со скоростью и, то у груза относительно земли будет начальная скорость и (направлена вверх), поэтому закон движения груза:
y = -Ut + *2! . (3)
Когда груз достигнет земли (y = h, t = t3), уравнение (3) примет
**3
вид: h = -Ut3 + -2 , откуда
gt| - 2ut3 - 2h = 0. Решив полученное уравнение, находим
. = v ±V v2 + 2*h t3
*
Следовательно, t3 = 8,3 с (отрицательный корень в данной задаче физического смысла не имеет, так как t > 0).
Ответ: а) tj = 7,8 с; б) t2 = 7,3 с; в) t3 = 8,3 с.
1.5.23. В момент отрыва десятой капли первая будет находиться в полете в течение времени tj = 9т и пролетит расстояние
22
hi = g2 = g8X-, (1)
а четвертая капля будет в полете в течение времени t2 = 6т и пролетит расстояние
2
2
h2 = g2 = g3Il . (2)
Расстояние между первой и четвертой каплями в момент отрыва десятой
s = h1 - h2. (3)
418
45 т2
Подставим в (3) выражения (1) и (2) и получим s = g 2 ; s = 9 м.
В момент отрыва десятой капли скорость первой и j = gtj = 9gT, четвертой ^2 = g^2 = 6gT. Скорость движения первой капли относительно четвертой v = Vj - и2 = 3gT; v = 6 м/с.
Ответ: s = 9 м; v = 6 м/с.
1.5.27. Тело отсчета— Земля. Направим ось Y вертикально вверх, начало оси совместим с точкой O, в которой находится шар в момент времени to = 0 — момент бросания груза (рис. 1.5.3). Тогда закон движения шара:
Уі = -vt. (1) "I A y
По условию задачи скорость груза дана относительно шара. Найдем проекцию начальной скорости груза на данную ось относительно земли:
