Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Острый угол главного сечения, прилегающий к оси z-ов, имеет величину 45° а второй острый угол равен 45° -+- i очевидно, что
^-+-Р*-ьу = 0.
<51,1)
§ 51. Расчет хода луча в призме с малыми ошибками углов
155
Точные значения нормалей определяются векторными уравнениями:
где i, j и k — орты по осям X, Y и Z. Приближенные выражения тех же векторов таковы:
Определяем напранление какого-нибудь луча, падающего ва первую грань призмы, вектором А:
Изображения нормали Hj и вектора А, даваемые отражением от большой грани с нормалью п2, называем буквами п/ и А, и находим их по формуле (12,4); это дает:
Подставляя в эти уравнения приближенные значения векторов по формулам (51,2) и сохраняя лишь величины первого порядка малости, получим :
Грани пластинки, эквивалентной данной призме, определяются нормалями n;i и п/. Назовем преломляющий угол этой клинообразной пластинки буквою г и определим направление преломляющего ребра клина единичным вектором р по уравнению:
Назовем единичный вектор, определяющий луч, вышедший из призмы, буквою Aw; для нахождения этого вектора применяем формулу (47,14), что дает:
Л"' = А,-»-(?“ iWpA,!. (51,4
Для нахождения р- нужно знать угол между вектором А! и ребром р призмы с малым углом е и угол между проекцией вектора Аг на плоскость главного сечения этой призмы и нормалью и/; назовем первый угол
буквою 9-, а второй г;; тогда
»1= — j.
щ = i sin я — j cos a cos (45° -ь j}') — k cos a sin (45° -t- [i'), ns=j sin у -+- k cosy,
»i=—j.
n2=*i-^-Va(l-r)j--j-V2(lH-?0k, (51,2)
n3 = Tj-+-k.
A — Ar i -t- Ay j -+- A_: k.
(51,3)
n/ = — a V?i — 2У j -+- k,
Aj - (A, 1 a v'2/L„ -V a v 2A)»-+- (* ~+~ 2?'AV — A,) j -ь
+ (i.\l2A, — Ay — 2V A) k.
p sin e==[n:in/] — (у-*-2(3/)! — a V2j.
156
Глава IV. Преломление через плоскость и системы плоскосте"
С другой стороны, по формулам (47,4) можно написать:
А, — Aj sind -l-pcOsS; умножив обе части уравнения скаларно на л/, получим:
A1n/ = A]I1,' sinS.
Перемножим скаларно соответственные части уравнений (51,3); после приведения находим:
так как нормаль п, направлена по оси у-ов в отрицательную сторону ее, то-
Произведение Ai п/ по только-что принятому обозначению углов равно-
— cos z'j. Итак:
Подставляя в уравнение (47,14) значения векторов Аг и р, находим:
Для краткости это уравнение можно написать в символическом виде:
где оператор, определяющий те операции, какие нужно совершить по отношению к слагающим вектора А, чтобы получить слагающие вектора Aw. Оператор определяется квадратной матрицей, т. е. следующей таблицей:
Операция, предписываемая формулою (51,5), может быть названа умножением матрицы ф на вектор А; каждая слагающая вектора А/,г получается как сумма произведений каждого из элементов соответственной строки матрицы на соответствующую этому элементу слагающую вектора А, т. е. для получения первой слагающей вектора А1" нужно
А, п,=Ап,;
Ahj = — Ау.
sin 0 cos г, — Ajt
и
А'" — (Аг -+- и.у. slhAy ¦+• к \J2A) i •--н V24, ¦+ ((2?' -ч- v) jl - т) Ау - АА j +-
»- Гу-я \/2А - Av - ((2У-> ;) и - у) А3\к.
А!" = $А,
(51.5>
1 1 (Аа \/2 х \/2 (
<p = jj *\/2 (2р'-ьт)Ё — у -1 | (51,5*)
|lfA«V2 -1 — \(2*' -+- у)? — у}
51. Расчет хода луча в призме с малыми ошибками углов 157
первый из элементов первой строки матрицы умножить на первую слагающую вектора А, второй элемент на вторую слагающую-и третий на третью, и все произведения сложить и т. д.
Положим, что углы призмы изготовлены точно без погрешностей; назовем слагающие вектора А'" в этом случае символами: Аох, А0А,,.', очевидно, что:
Аох —— Аг ?:— — А,, d'.--—Av;
призма действует как плоское зеркало, не изменяя слагающей по оси х-ов; слагающие по двум другим осям меняются местами, и обе меняют знаки, т. е. призма дает неполное обращение предмета или зеркальное изображение его.
Влияние ошибок углов на ход луча можно определить разностями:
. л’" л'" л'!'
А А. — - Ах Аох ,
л’"
АА,/ Ау Ас,,,
111 in ,п
\Ая -- As — Аие.
Каждая из этих разностей равна разности косинусов направляющах углов луча, прошедшего призму с неточными углами, и косинусов тех же углов при отсутствии ошибок этих углов; в то же время эти разности суть проекции на координатные о^и халой дуги угла, образуемого обоими направлениями векторов А'" и А(1'", т. е. угла, измеряющего отклонения луча от точного направления вследствие существования ошибок углов призмы. Величина угла отклонения Ь в радианах равна корню квадратному из суммы квадратов проекций этой дуги, т. е.
&= \'(АЛ •) * {±Л У . (1АГ'Г.
Если призма имеет только ошибку пирамидальности х, но углы в главном сечении не имеют погрешностей, т. е. V = у = 0, то:
' 1 ч.a V2 а v2!
I I'
Uv'2 0 ¦ — 1 (:¦
I I
; [J.7. \/2 - 1 0 |
Для луча, падающего по нормали к первой грани:
А,. — А.—О; -4„ = 1; у. — [Ц
луч, отраженный призмою, определяется слагающими:
А'" — и-У. \/2; AJ"=0; АГ = — 1.
Отраженный луч выходит из плоскости OZY, образуя с ней малый. угол-; если [/.= 1.5, то этот угол равен 2.17., т. е. в два раза больше
158
Глава IV, Преломление через плоскость и системы плоскостей
