Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
1__1
V — - i
является основанием того, что в формуле (52,4) матрица обратного преобразования была обозначена символом 3_I по аналогии с обратными величинами в алгебре и арифметике.
Введение понятия матриц и действий над ними чрезвычайно упрощает написание формул преобразования и, как мы видели в предыдущем параграфе, формул, определяющих действие призменных систем; часто бывает выгодно обычную подстановку координат по формулам преобразования заменять умножением матриц.
Положим, что задача о прохождении луча через призменную систему решена теми приемами, какие были изложены в двух предыдущих параграфах, т. е. найдены элементы матрицы $, определяющей слагающие вектора А' по заданным слагающим вектора А; черточки указывают на то, что векторы определены в ортах системы осей, связанных с призменной системой; решение имеет вид:
А' = $А.
Выберем вторую систему осей, координаты которой связаны с координатами первой системы формулами преобразования (52,3) или (52,4). Обозначим единичный вектор, определяющий падающий на призменную систему луч, буквою А; найдем выражение вектора луча, вышедшего из призмы, в ортах второй неподвижной системы. Для этого находим выражение «вектора А в ортах системы, связанной с призмою, по формуле (52,4); это дает: __
А-- 2 ; А.
Далее находим выражение вектора А' луча, прошедшего призму, по уравнению:
А' — *рА;
наконец находим выражение того же вектора в ортах неподвижной системы по формуле (52,3).
А' —ЗА'.
Исключая из последних трех уравнений А' и А, получим:
А' = З'^З-1 А. (52,7)
Для того, чтобы но этой формуле найти выражение вектора А', нужно знать выражения всех коэффициентов таблицы (52,1). Принятая в аналитической геометрии и в теоретической механике система эйлеровых углов неудобна в применении к призменным системам, так как
11*
.164
Глава IV. Преломление через плоскость и системы плоскостей
оси вращения системы координатных осей при преобразовании их обычно мало соответствуют тем вращениям, на которые удобно разлагается смещение призмы при ее установке. Поэтому удобнее пользоваться .другими формулами, определяя положение в пространстве осей, связанных с призменной системой, при помощи иных углов.
Положим, что оси, связанные с системою, совмещены с осями X, Y, Z, неподвижными в пространстве. Повернем призменную систем/ с ее осями вокруг оси л"-о t на угол 9, вследствие чего оси призменной системы займут положенле Хи Г» формулы преобразования вектора А прздставнм в условной форме так:
А Cj А;)
где оператор ©, определяется матрицей;
| 1 О о
= 0 cos о—sin 9!*
О si п 9 cos 9
Повернем систему Хъ К,, Zx вместе с призмою вокруг оси Уг на угол/; новое пололение .осей обозначим X.,, Yit Z2; формулы преобразования напишем так:
Aj —— Ag,
где оператор "€>2 определяется матрицею:
I cos х 0 sin х 10 10
— sin ? 0 cos у
Наконец, повернем призму с ее осями вокруг оси Zs на угол у, после чего эти оси примут положение X, / , Z; соответственное уравнение преобразования имеет вид:
где
Аа^вдА,
I cos у — sin ф 0
®s = sin | cos ф 0
I 0 0 1
Исключаем из предыдущих трех уравнений векторы А2 и Ах и на* ходим:
А = ®А,
где
©.= 3j ®203.
,§53. Лучи в призме с ошибками углов и с ошибками положения ее 165
Произведя умножение трех матриц, находим следующие значения коэффициентов таблицы (52,1) при указанном способе вращенвя осей:
сп = cos/cosс1г = — cos/sin A; cJ3=-sin/;
c21 = sinosin7cosi-i-cos 9sinу; ci2~ — sin<psin/sin^-cosocos^; (e-n R\
t I PA °/
cis = —sin о cos/; c.,== — cos 9 sin / cos о i-sinosmy;
ci2— cos <p sin уsin ^ -t- sin 9 cos ф; c3.. = cos 9 cos/.
При переходе к малым углам о, / и определяющим ошибки поло»
жения призмы, есди неподвижные оси суть точные направления
осей, связанных с точно изготовленной призмою, заменяем косинусы
всех углов единицей, а синусы их Дугами и пренебрегаем малыми вели-
чинами порядка выше первого; это дает:
1 v /.;
г=1 ь 1 . (52,9)
— 7. ? 1
§53. Расчет хода луча в призме с ошибками изготовления углоз и с ошибками положения ее
Выведенная в предыдущем параграфе формула (52,7) дает возможности вычислить отступление направления луча, прошедшего призму,
от точного направления в общем случае, когда это отступление вызывается не только ошибками углов призмы, но также и ошибками положения призмы в приборе. Решение этой задачи состоит из двух частей. Прежде всего находим выражение вектора, огределяющего прошедший через призму луч, в ортах системы осей, связанных с призмою, принимая во внимание ошибки углов призмы; это выражение имеет вид:
А' = $А,
где ф—оператор, характеризующий действие призмы. Во второй части решения относим призму к осям, связанным с прибором, и определяем ее положение относительно этих осей углами с некоторыми малыми ошибками по сравнению с величинами, заданными при проектировании прибора. Если 0—матрица преобразования координат системы, связанной с призмою, к координатам системы неподвижных осей, связанных с прибором, то по формуле (52,7,:
находим искомое выражение вектора А', определяющего луч, прошедший через призму.
