Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 52. Преобразование координат 161
§ 52. Преобразование координат
При вычислении элементов матриц, определяющих действие призм и призменных систем, естественно выбирать такие координатные прямоугольные оси, чтобы все векторы, определяющие положение отражающих и преломляющих плоскостей, выражались наиболее простым образом; при этом почти всегда, как и в рассмотренных примерах, выгодно оси связать неизменно с призменной системой; получаемые при этом формулы содержат ошибки изготовления углов призм. При сборке оптических систем установка даже точно изготовленной призмы производится с некоторой ошибкой, с некоторым отступлением от правильного положения; с другой стороны, призмы с небольшими неточностями углов стараются расположить так, чтобы но возможности уменьшить влияние ошибок углов, т. е. с умышленными отступлениями от точного положения точной иризмы. Таким образом на ход луча, вышедшего из призмы, вли ют не только ошибки изготовления углов призмы, но и ошибки ее положения в оптической системе; положение призмы можно определить, лишь отнеся ее к неподвижным осям, определенным образом связанным с о'птическим прибором. Поэтому для полной оценки отступлений хода луча, прошедшего призму, от идеального хода необходимо решить задачу
о преобразовании координат, т. е., определив вектор луча его слапю-щими по отношению к осям, связанным с призменной систзмой, нужно найти слагающие этого вектора в системе осей, неподвижных в пространстве.
Так как пр .* решении задач о ходе лучей в призменных системах мы рассматриваем только направления лучей, определяемые косинусами направляющих углов векторов с координатными осями, то при образовании координатных осей можно ограничиться вращением их вокруг начала осей.
Условимся обозначать оси, связанные с призменной системой, и проекции векторов на эти оси буквами с черточками навеоху, а неподвижные оси и проекции векторов на эти оси теми же буквами, но без черточек. Косинусы углов между осями обеих систем обозначим буквами с двумя значками внизу, из которых первый указ ывает номер с си неподвижной системы, второй— номер оси системы, связанной с призмою; все
девять косинусов можно расположить в такую таблицу.
XYZ
X CnCr,CJ3
Y с.п с22 ^23 |
Z с31 Ск,, cs, I
Формулы преобразования для слагающих вектора А имеют вид:
Ах-^спАх-ь-с]2Ау-\-сг,~Аг, |
Ау = е21 Ах -I- с22 Ау -I с2 Аг, | • (52,2)
Л? — с-л Ах -+- с3, Ау -+- с. .. Аг. ,
1 А. И. Тудоровский
(52,1)
162
Глава IV. Преломление через плоскость и системы плоскостей
Формулы можно написать в условной форме в виде одного уравнения:
А = $А, (52,3)
где А и А означают один и тот же вектор, но первый нз них определен в ортах неподвижной системы осей, а второй в ортах системы, связанной с призмой; @ означает оператор или матрицу преобразования, составленную из элементов таблицы (52,1). _
Если уравнения (52,2) решить относительно слагающих вектора Ах, Ау, Ае, то результат можно написать в таком виде:
А = @-1 А, (52,4)
где <S_1 новый оператор, матрица которого отличается от матрицы <В тем, что элементы ее строк равны соответственным элементам столбцов матрицы (?. Как известно, вследствие ортогональности осей обеих систем сумма квадратов элементов каждого столбца или элементов
каждой строки равна единице, а сумма произведений попарно двух соот-
ветственных элементов двух строк или двух столбцов равна нулю.
Если вектор А в уравнении (52, 3) заменим его значением из уравнения (52,4), то мы получим:
А = @(©-1А). (52,5)
Это совершенно естественно, так как обратное преобразование координат, произведенное при помощи оператора ©> снова даст вектор, выраженный в ортах исходной системы. Назовем произведением двух матриц такую новую матрицу, элементы которой образованы по правилу умножения определителей, т. е. для нахождения элемента аа матрицы, равной произведению двух матриц, нужно каждый элемент строки с номером / первой матрицы умножить на каждый соответствующий по порядку элемент столбца с номером k второй матрицы и все три произведения сложить.
Произведения матриц имеют следующие свойства: а) результат умножения зависит от порядка множителей, т. е. произведение двух матриц не подчиняется закону перемещаемости (коммутативному закону) произведений в алгебре; б) произведение нескольких матриц подчиняется закону сочетательности (ассоциативному закону), так как значение трех операций не изменяется, если эти операции производить двумя различными способами, выражаемыми формулой:
©3 (®2 @l) = (S3 82)
т. е. если умножить сначала матрицу 0! на 32 и затем полученное произведение умножить на ©3, или сначала умножить v?2 на (?3 и матрицу умножить на эту сложную матрицу; нельзя только менять порядок множителей.
Обратимся снова к уравнению (52,5); выполнив по изложенному правилу умножение матриц © и 3-;, получим:
10 0
<23~1= 0 10
,001
(52,6)
§ 52. Преобразование координат
163
Далее, выполняя преобразования, непосредственно убеждаемся, что
3(S-'А) = (3®-1)А = А.
Таким образом символическое произведение <23“1 равно единице; его матрица (52,6) называется единичной матрицей; операция, предписываемая этой матрицей, не изменяет значения вектора. Равенство
