Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Вектор п, нормали в ортах первой подвижной системы определяется уравнением:
П] = — i sin (45 - v- 'I) — k cos (45 -j- ’y);
слагающие вектора А в обеих системах связаны следующими формулами перехода:
Ах — Ar cos 26 •»- Ае sin 2ф,
V
Ае — — Ах sin 2ф -t- A. cos 2ф.
(50>7)
Пользуясь формулой (12,4), находим слагающие вектора А', определяющего луч после отражения его от верхней призмы, в первой подвижной системе осей OXYZ:
А'-—ДЛ-«- Ауj—Ахк.
(50, &
S 51. Расчет хода луча в призме с малыми ошибками углов 151}
Для нахождения слагающих того же вектора А' в неподвижной системе координат OXYZ воспользуемся формулами перехода (50,3); это дает:
А! — — {А, cos о -+- Ац sin 9) i 1 (Alf cos 9 — A: sin 9) j — Ar k.
Это выражение совпадает с выражением (50,4), вследствие чего можно без вывода написать выражение вектора А'" для луча, прошедшего третью призму, пользуясь формулой (50,6), а именно:
А " = A, i — Aff j — AM.
Таким образом панорамная система, состоящая из рассмотренной системы трех призм, объектива между второй и третьей призмой и окуляра с горизонтальной осью после третьей призмы, дает возможность неподвижному наблюдателю видеть через окуляр изображение пространства таким, каким видит это же пространство наблюдатель, у которого линия визирования определяется углами 9 и 2А; прг'. этом верхняя призма повернута на угол о вокруг вертикальной оси и на угол А вокруг горизонтальной оси, а вторая призма Дове повернута вокруг
вертикальной оси на угол -у 9.
Если верхнюю приему заменить вращающей я двог^ной п >измой „куб“ (рис. 66, § 48), то неподвижный наблюдатель может обозревать все пространство в пределах телесного угла, несколько превышающего 2~, изменяя угол 9 в пределах от 0 до 360° и угол i от 0 до 90°.
§ 51. Расчет хода луча в призме в случае малых ошибок углов ее
Если углы призмы имеют небольшие отклонений от правильных значений их, то геометрическое построение последовательных изображений призмы, всех нормалей и падающего луча при каждом отражении приводит не к плоско-параллельной пластинке, а к клинообразной призыс с малым преломляющим углом, как это было пояснено на частных примерах в § 49. Изложенный в предыдущем параграфе прием применения уравнений (12,4), (41,6) и (41,6*) в данном случае углов с ошибками также дает возможность найти уравнения векторов последних изображений нормали к первой преломляющей поверхности и изображения падающего луча. Вектор последнего изображения первой нормали и вектор нормали к последней преломляющей поверхности согласно формуле (41,3) определяют вектор р вращения луча, т. е. направление преломляющего ребра призмы с малым углом и величину преломляющего угла а этой призмы. Формулы (47,14) и (47,14*) дают возможность определить вектор луча, прошедшего призму с малым углом, эквивалентную данной призме с неточными углами.
При осуществлении изложенной схемы расчета хода лучей в случае малых значений ошибок углов нет надобности пользоваться точными формулами, определяющими все нормали призмы. Все проекции векторов на координатные оси суть тригонометрические функции углов призмы; представив эти углы в виде сумм или разностей точных значений этих углов и малых ошибок изготовления, следует заменить все синусы и косинусы сумм и разностей их обычными выражениями в зависимости
154
Глава IV. Преломление через плоскость к системы плоскостей
Я
от синусов и косинусов точных значений углов и малых ошибок; далее все косинусы малых углов приравнивают единице, а синусы этих углов заменяют дугами. Этим путем выражения проекций всех векторов приводятся к сравнительно простому виду. Применяя формулы (12,4), (41,6) и (41,6*) и раскрывая скобки, мы можем пренебрегать всемн произведениями, малых углов и всеми степенями их выше первой. Так как в действительности ошибки изготовления углов призм всегда невелики и не могут быть велики по существу дела, то получаемые приближенные формулы
дают достаточно точную оценку влияния ошибок углов на ход луча
в призме. Очевидно, что эти приближенные формулы определяют слагающие вектора луча (или косинусы направляющих углов его) в виде линейных функций малых углов погрешностей, т. е. влияния отдельных
ошибок и этом случае складываются. Это дает возможность вместо общего решения задача по вышеизложенной схеме разыскивать отдельно влияние ошибки каждого угла на направление луча, прошедшего призму, н найденное отклонение направления луча складывать алгебраически. В несложных случаях, рассмотренных в § 49, влияние ошибок только одного угла легко может быть найдено из геометрических построений.
Применение общего метода расчета в дальнейшем поясняется рассмотрением нескольких частных случаев.
На рис. 91 изображена прямоугольная призма с небольшой „пирамидальностью" и с ошибками двугранных углов. Направим ось х~ов вдоль ребра двугранного угла, близкого к прямому и равному 90° ¦+¦ у, где у — малый угол; ось у-ов направлена по нормали п, к первой преломляющей грани призмы в сторону, противоположную направлению вектора it,. Плоскость OZY есть плоскость главного сечения призмы и потому содержит в себе нормаль п3 к третьей преломляющей грани призмы. Нормаль щ ко второй отражающей грани, изображенная отрезком МР, образует малый угол а с плоскостью главного сечения, т. е. с плоскостью OZY; угол а, считаем положительным, если вершина пирамиды находится на отрицательной части оси дг-ов, т. е. за плоскостью рисунка. При таком выборе знака угла а нормали Di, п2 и п. к граням призмы в последовательности номеров образуют правую систему; произведение п} [п2 п3], равное п2 [ж>:, nj и па [it] п2], имеет положительное значение.
