Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
= max [г - N т для г = 0, 1, ..., п и l'0 + n-Nn] (77)
с таким же распределением, что и (76). Тогда
Р {t'n<k\t' = i} =
= Р {г - Nr <k для г = 0, 1, .. ., п и п - N п < k - /}, (78)
а правую часть можно получить из (3) § 8. Доказательство закончено,
ибо в случае г = 0 (78) получается из (1) § 8.
Теорема 13. Если k~^\, то независимо от распределения случайной величины
lim Р {?'<&} = 1 - б*, (79)
П-> оо
где б-наименьший неотрицательный вещественный корень уравнения
Ф(ц(1-6)) = 6. (80)
Если \ib ^ 1, то б = 1, а если \ib > 1, го б < 1.
Д о к а з а те л ь ст в о. Из формулы (78) вытекает, что незави-
симо от распределения случайной величины ?'
Пт Р{Е'</е} = Р{ sup (r-Nr)<k), (81)
П-> ОО 1<г < ОО
а правую часть находим из теоремы 3 § 8.
§ 29. ФЛУКТУАЦИИ ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ
Рассмотрим процесс образования очереди = {г|(0); %(и), 0^и<оо}, введенный
в §27. Пусть (х(и), 0 < оо} - веще-
ственный сепарабельный случайный процесс, почти все выборочные функции
которого являются неубывающими ступенчатыми
122
Г л. 5. Теория очередей
функциями, обращающимися в нуль при " = 0. Мы хотим найти
распределения величин г) (/), а(/), (}(/) и 0,, г = 0, 1, 2 Эти
случайные величины полностью определяются процессом W. Время ожидания в
момент t равно
г| (t) = sup {x(t) ~Х (и) ~ и) Для и ri(°) + x(0-^}-
(1)
Действительно, пусть и - наибольшее из чисел отрезка [0, t], для которых
г|(м) = 0. Тогда r| (t) = %(t) - %(и) - (t - и). Если такого и нет,
положим r| (t) = т| (0) + % (t) - t. В любом из этих двух случаев
соотношение (1) выполняется.
Полное время бездействия обслуживающего прибора в интервале времени [0,
t] равно
а (/) = sup {и - %{и) - г\ (0) для и 0). (2)
Тогда ${t) = t - a(t). Кроме того, очевидно, что
¦р(*) = т](0) + х(0-т](0- (3)
Длительность начального периода занятости равна
0o = inf{": л(0) + х(и)^и и 0 < оо}, (4)
если такого и нет, то 0о = оо.
Между распределениями случайных величин a (t) и 0О существует интересная
связь: при 0<х<Д и с^О
Р {a {t) > х | л (0) = с} = Р {0О < t\ т| (0) = с + х) (5)
Р {а (*) = 0 I л (0) = с) = Р {0О > t\ г! (0) = с}. (6)
Равенство (6) очевидно. Для доказательства (5) заметим, что в силу (2)
Р {а (t) ^ х} = Р {г| (0) + % (и) + * ^ и для некоторого и е [0, /]},
(7)
а в силу (4)
Р {0О t} = Р {г) (0) + % (и) ^ и для некоторого и е [0, /]}. (8)
Сравнивая (7) и (8), получаем, что вероятность того, что a (t)^x для
процесса с начальным временем занятости г| (0) = с, равна вероятности
того, что 0О для процесса с начальным временем занятости r)(0) = c + x.
Равенство (5) доказано.
Процесс W
Дальше мы будем предполагать, что {%("), 0 ^ и < оо} - сепарабельный
стохастический процесс с переставляемыми или, в частности, стационарными
независимыми приращениями. В обоих случаях почти все выборочные функции
процесса будут неубывающими ступенчатымш функциями, обращающимися в нуль
при
§ 29. Флуктуации времени ожидания
123
и = 0, и Е{%(и)} = ри при и^О, где р - неотрицательное число (возможно,
равное оо). Тривиальный случай, когда Р{%(и) = 0}=1 для всех и>0,
исключается.
Если процесс {%("), 0<!и<оо} имеет стационарные независимые приращения,
то для Re(s)^0
Е{е-"(и)} = е-иф(5) (9)
при надлежащем выборе функции <p(s). Если число А, = Ф(оо) конечно и
положительно, зададим такую функцию распределения Н (х), что для Re(s)^0
со
ф(5)= 1 (10)
О
и Н(х) = 0 при х<0. Далее, р = Ф'( + 0). Если р конечно и положительно,
зададим такую функцию распределения Н'(х), что для Re (s) > О
со
It>*(s)= JV" dH'(x) = ^- (11)
О
и Н*(х) = 0 при х<0. Через Н'п{х), п - 0, 1, 2, ..., будем обозначать n-
кратную свертку функции Н* (х); //'(*)= 1 при и
Н'0(х) = 0 при х<0. Пусть со - наибольший неотрицательный вещественный
корень уравнения Ф(я) = 5. Если р^1, то со = О, а если р> 1, то со>0.
Далее, положим ст2 = - Ф" (+ 0); тогда Var{x(")} = <r2" для и^О.
Теорема 1. Если {% (и), 0 ^ и ^ оо) - процесс с переставляемыми
приращениями, то
Р (г) (/)< х | г) (0) = с} = Р (х (/)< t + х - с} -
- Ц [!r^)dydzVh{y)^y + x, t{t)<z + x) (12)
О < у < z - с
для всех х, с^О и />0. В частности,
t - C
Р{т)(0 = 0|г](0) = с}= j (l--f)rf"P{X(/)<4r}, (13)
О
если 0<с</, и Р (г)(/) = 0 |г)(0) = 0} = 0 при t<c.
Доказательство. Функция г)(/) определяется по формуле (1). Если в (1)
заменить %{t) - %{u) на %(t - и), то получится новая случайная величина
fj (/) = sup (х (и) - и для и Л (0) + х (*) - О (14)
124
Гл. 5. Теория очередей
с таким же распределением, как и у г|(/). Следовательно, Р{т)(0-<*1л(0) =
с} =
= Р(х(") + х для и %(t) ^.t + х - с), (15)
а правую часть можно найти по формуле (2) § 15. Если * = 0, то (15) можно
получить также из соотношения (3) § 15. Теорема доказана.
Заметим, что если {%("), 0 ^ и ^ Т} - процесс с переставляемыми
приращениями, а Т - конечное положительное число, то формулы (12) и (13)
верны для всех 1е(0, Г].
Если процесс {%{и), 0^и<оо} имеет стационарные независимые приращения, то
в формуле (12)
Р {% (уХ У + х, X (0 < г + х} = Р {% (г/)< у + х) Р {% (t - г/)< г - у).
