Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
максимальная длина очереди в г-м периоде занятости (г = 1, 2, ...) не
превосходит k.
Примеры, (i) Предположим, что в интервале времени (0, оо) закон
поступления требований на обслуживание - пуассоновский с интенсивностью
X. Начальная длина очереди в момент и = 0 равна ?"• Требования
обслуживает единственный прибор, начинающий работать в момент и = 0.
Обслуживающий прибор занят, если в системе имеется по крайней мере одно
требование. Времена обслуживания %и %2, ..., %г, ... являются взаимно
независимыми и одинаково распределенными положительными случайными
величинами с функцией распределения Р {%г ^ х) = Н{х). Они не зависят от
моментов поступления требований. Положим
оо
ф(") = J e~sxdH (х) о
(40)
§ 28. Флуктуации длины очереди
115
для Re (s) ЗЗг О,
оо
а= J х dH(x) (41)
о
и
оо
о2а= j (x-afdH(x), (42)
о
если соответствующие интегралы сходятся.
Обозначим через vrt r= 1, 2, число поступлений в r-м периоде
обслуживания. Тогда {v,} - взаимно независимые и одинаково распределенные
случайные величины с распределением
оо
P{v, = y}= \e-**yf-dH(x) (/ = 0,1,2,...). (43)
0
Распределение величины Nn г - 0, 1, 2, равно
ОО
р {Nr = /} = J yf- dHr (х) (j = 0, 1,2,...), (44)
о
где Нг(х) есть г-я свертка функции Н (х) с самой собой; Н0(х)= 1 при х^О
и Н0(х) = 0 при х<0.
В этом случае я (г) = ф (Л (1 - г)), у = Ха и а2 = X (а2 + ol)- С помощью
теорем настоящего параграфа можно найти распределения величин ?", ап, р",
р", а также их асимптотические распределения.
(п) Рассмотрим предыдущий пример с той единственной разницей, что в
интервале времени (0, оо) требования поступают партиями случайного объема
в соответствии с законом Пуассона с интенсивностью К. Предположим, что
объемы партий являются взаимно независимыми и одинаково распределенными
случайными величинами, не зависящими от времени поступления. Обозначим
через p/t /= 1, 2, ..., вероятность того, что партия состоит из /
требований, и положим
оо
p{z)=hpizi. (45)
/=i
Если vr, г = 1, 2, ..., - число требований, поступивших в очередь в
течение r-го периода обслуживания, то v1( v2, . . ., vr, . .. - взаимно
независимые случайные величины. Их общая производящая функция имеет вид
я(г) = ф [Я (1 -р(г))\.
(46)
116
Г л. 5. Теория очередей
Зная распределение величины vr, r= 1, 2, можно с помощью теорем
настоящего параграфа найти распределения величин |", а", р", р", а
также их асимптотические распределения.
Процесс Q*
Рассмотрим процесс Q* = [?0; N*, г = 0, 1,2,...}, введенный в § 27.
Предполагается, что N* = v] + ... +v* для r= 1, 2, ..., где {v*} -
двойственная последовательность для {vr}, a {vr} -либо переставляемые
случайные величины, принимающие неотрицательные целые значения, либо, в
частности, взаимно независимые и одинаково распределенные случайные
величины, принимающие неотрицательные целые значения. Положим Nr = Vt+
... + vr для г = 1, 2,---
Мы хотим найти распределения величин ?*, а*, Р', р* для любого п. Эти
случайные величины полностью определяются процессом Q\ или, что то же
самое, процессом Q. В § 27 были получены распределения случайных величин
?", ?", ап, р", р" для процесса Q. Сейчас мы сведем задачу нахождения
распределений величин а', Р* и р* к нахождению распределения случайной
величины
Вероятность Р (р* <6} = Р }а* >п - 6} для 0<k^n определяется следующей
теоремой.
Теорема 8. Если {vr} - переставляемые случайные величины, то Р [K<k +
i\i0 = i} = P{Nk>n-l} +
+ 2 2(1-//(*-/))Р{ЛГ/ = / + л-Л-1, Nk-N, = l}, (47)
/=¦ 11=0
еде 0<k^n - i и 0<k<n. Если k = n- 1, то формула (47) принимает вид
Р {р; < п - 1 + /1 So = i} = 2 (1 - //(" - О) Р {Nn-\ = /}• (48)
Доказательство. Если k^n - i, то в силу (4)
р{р;<*+(|?о-''}"
= Р [nI^t - n + k для некоторого г = 0, 1, ..., га-l}. (49)
Следовательно, если k^.n-1, то в силу (2) § 9
р(р;<л-и|?о-*} =
= Р {Nr г - п - k - 1 для некоторого г = 1,2, ..., k} -
= 1 - Р {Nr - г < п - k - 1 для г = 1,2, .. ., k}, (50)
§ 28. Флуктуации длины очереди
117
а правая часть задается формулой (1) § 6. Равенство (47) доказано. Если,
в частности, в (50) k - ti- 1, то с учетом формулы (4) § 6 получаем (48).
Здесь г = 0 или г=1.
Отметим также интересное равенство
Р{р;<А + ЛС0 = |} = 1 -РК*<п-А-1 |?" = 0}, (51)
вытекающее из (14) и (50).
Теорема 9. Если {vr} -взаимно независимые и одинаково распределенные
случайные величины, E{vr} = y>l и Var{vf}=a2< оо, то независимо от
распределения случайной величины ?0
11тр{рЦ^<*} = Ф(*). (52)
п-"°о ( У по2/Y3 J
Доказательство. Имеем
К = Ь + К-С (53)
где ?* определяется по формуле (1), в которой Nr надо заменить на N*. В
силу (2) § 9
P{N*n<k} = P{Nk>n} (54)
для n + k> 0. Теперь, используя (29), легко доказать, что
(55)
Так как lim NJn = у по вероятности, то
П-? оо
Nn 1
= - (56)
п-> оо 11 Y
по вероятности. При у > 1 отсюда следует, что
lim = 0
п-"°о га'2
по вероятности. Очевидно, что
lim = 0
п->оо га'2
по вероятности. В соответствии с этим, если у>1, то при п-> оо случайная
