Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае в силу (13)
Pfo(0<*h(0) = c} = Pfo(0<f + *-c}-
t - c
-J Р{л(*-"/) = О|л(О) = с}ЛйР{х(г/)<0 + л:}, (16)
+о
а если отказаться от условия г) (0) = с, то Р Ь) (0 < х) = Р Ь) (0) + г
(0 < t + х} -
t
- J Р {ц (t - у) = 0} dyP (х (у) < У + х) (17) +о
для всех х. При х<0 обе части равенства (17) равны нулю.
Теорема 2. Если {%("), 0 ^ и < оо) - процесс со стационарными
независимыми приращениями и р < 1, то предельное распределение lim Р
(г)(0 ^ х} = W (х) существует и не зависит от рас-
t оо
пределения начального времени занятости прибора. Кроме того,
оо
W(x)= 1 -(1 -р) | dyP{%(у)<у + х}, (18)
+о
или
г(х) = (1 -р) s рпя;(х) (19)
л-о
для всех х. Если р^1, то предел lim Р{г)(^) ^х) равен 0 для
t-* оо
любого х и не зависит от распределения величины ti(0).
§ 29. Флуктуации времени ожидания
125
Доказательство. В силу (15)
Р{ sup [х(ы)-и]<*}-Р{т](0) + х(*)>* + *}<
0<"<t
< Р {т] (^Х ж} < Р { sup [% (и) - ы]< х}. (20)
0<ы<<
Если р<1, то из слабого закона больших чисел вытекает, что lim Р{т](0) +
%(0> * + •*} = 0 для всех г) (0) и х. По теореме непре-
/ со
рывности для вероятностей получаем
limP{r)(0<x} = P{ sup [%(и)~ м]<х}, (21)
t -> ОО 0^ Ц < оо
причем предел не зависит от распределения величины г| (0). Правую часть
равенства (21) можно получить из формулы (15) или из (34) § 15. Если р^1,
то из формулы (16) § 15 следует, что правая часть в (20) стремится к
нулю при t-> оо. Поэтому при
р^1 предел lim Р{г](/)^х} равен нулю для всех х и не зависит
/ СО
от распределения величины т](0). Теорема доказана.
В силу теоремы 4 § 15
оо
m)-\e->dW М-т^Г (22)
о
для Re(s)^0, где функция ф'(") задана формулой (11).
Замечание. При р< 1 существует еще один способ определения Q(s). Так как
(г) (/), 0 ^ t< оо} - марковский процесс, то если предельное
распределение для тД^) не зависит от распределения величины
г) (0), процесс {т](0> 0 < оо} имеет единствен-
ное стационарное распределение, совпадающее с предельным.
Если {ri (/), 0 < оо} - стационарный процесс, то Р{т](^)<^х} =
= W {х) для всех t ^ 0. Если
оо
Q(s)= je~sxdW(x) (23)
о
для Re(s)^0, то, переходя в (17) к преобразованию Лапласа - Стильтьеса,
получаем
t
Q (5) = ft [5-ф "| q (s) _ sW (о) | еу [.-ф wi dy (24)
о
для всех /^0 и Re(s)>0, откуда
<25>
126
Гл. 5. Теория очередей
для Re(s)>0. Из равенства ?2(0) =1 следует, что № (0) - 1- р. Поэтому,
если р<1, то процесс {г)(/), 0^t<oo} имеет одно и только одно
стационарное распределение W(х), преобразование Лапласа - Стильтьеса
которого определяется по формуле (25), где U7(0)=l-р. Если р < 1, то
предел lim Р (тД/) ^ х} существует и
t-> ОО
не зависит от начального распределения, а потому он необходимо равен
W(х), стационарному распределению процесса. При р^1 предположение о том,
что процесс (г)(/), < оо} имеет стацио-
нарное распределение, ведет к противоречию.
Так как а (<) + (J (<) = f для всех 0, достаточно найти распределение
случайной величины а(/) или |3(/). При этом
Р№(0<х) = Р{"(0>t - х} для всех 0<х<Д.
Теорема 3. Если {% (и), 0 ^ и < оо} - процесс с переставляемыми
приращениями, то
Р {а (<)>х - с |т)(0) = с} = J jdy?{%(y)^y~x} (26)
X
для 0^с<х<П.
Доказательство. Согласно (2), при 0^с<х Р {a (t) > х - с | Ti (0) = с) =
1 - Р {и - % (и) х для 0 и ^ /}, (27)
а правую часть можно получить из теоремы 1 § 17.
Заметим, что для процесса {%("), О^и^Г} с переставляемыми приращениями,
где число Т конечно и положительно, равенство (26) справедливо при всех t
ен (О, Т].
Теорема 4. Если {%("), 0 < оо} - процесс со стационар-
ными независимыми приращениями, р<1 и 0<о2<оо, то независимо от
распределения случайной величины тДО)
Игл Р ( Р (1 } = Ф W, (28)
где Ф(х) - нормальная функция распределения с нулевым средним и единичной
дисперсией.
Доказательство. Мы уже отмечали очевидное соотношение
Р(0 = Л(0) + х(*)-Ч(<). (29)
По центральной предельной теореме
(30)
§ 29. Флуктуации времени ожидания
127
При р<1 из слабого закона больших чисел следует, что lim г=0 по
вероятности. В то же время очевидно, что
lim ц (0)1 Vt = 0 по вероятности для любой случайной величины
/ -> ОО
т](0). Тогда, если р< 1, то р(/) и %(t) имеют одинаковое асимптотическое
распределение при /-> оо. Теорема доказана.
Замечание. Пусть предельное распределение
(31)
существует и функция g(t) такова, что limg(/) = oo. Тогда с по-
t оо
мощью соотношения (29) легко убедиться, что если р<1, то р(/) и %(i)
имеют одинаковое асимптотическое распределение при t -> оо.
Пусть, например, {%("), 0 ^ и< оо} - обобщенный пуассонов-ский процесс,
для которого
V (и)
X (и) = 2 Хг, (32)
г = 1
где {v (и), 0 ^ и < оо} - пуассоновский процесс с интенсивностью Я, а Хъ
•••> ...--взаимно независимые и одинаково распределенные случайные
величины. Пусть они не зависят от {v (")} и удовлетворяют условиям Е
{%,.} = а, Р {%r > х} = h (х)/ха, где 1<а<2
lim -ггтт"= 1
х^.оо h(x)
для любого положительного числа с. Тогда
- (33)
где Ga (х) - устойчивая функция распределения, определенная соотношением
