Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 42

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 91 >> Следующая

(31) § 28, р = Ла, a g(t) выбирается из условия P{Xr>g(0)~ !/*¦
Теорема 5. Пусть {%(и), 0 ^ и < оо} - процесс с переставляемыми
приращениями, а начальное время занятости прибора r](0) равно с < 0.
Тогда вероятность того, что длительность начального периода занятости не
превышает t, равна
P{0o</|ri(O) = c}= JfdyPfoteXtf-c} (34)
С
при t^c. Если t<c, то Р {0О 1 т](0) = с} = 0.
128
Гл. 5. Теория очередей
Доказательство. Согласно (4),
Р {0о ^ 11 0 (0) = с) = 1 - Р - X (ц) ^ с Для 0 ^ и ^ 0. (35)
а вероятность в правой части можно получить из теоремы 1 § 17. Формула
(34) доказана.
Пусть (х(ы), 0 < и< оо} - процесс со стационарными независимыми
приращениями и Х = Ф(оо)<оо. Тогда {%(и), 0<л^<оо} - обобщенный
пуассоновский процесс, 0О, 0Ь 02, ... - взаимно независимые случайные
величины, причем 0!, 02, ... распределены одинаково. Если ц(0) -
случайная величина с тем же распределением, что и величина положительного
скачка процесса {%(и), 0 ^ и< оо}, то Р {0Г 0 = Р {0О ^ 0 для г =
1,2,..., таким образом,
при и г = 1, 2, ....
Теорема 6. Если [%(и), 0 < оо} - процесс со стационар-
ными независимыми приращениями, то
а вероятность в правой части можно получить из теоремы 3 § 17.
Теорема 7. Пусть {%(и), О^и <оо} - процесс со стационарными независимыми
приращениями, а начальное время занятости прибора ц(0) равно с> 0. Тогда
вероятность того, что максимальное время ожидания в начальном периоде
занятости не превышает х, при х^с равна
при Re(s)>co, a W (0) произвольно. Функция W (х) в явном виде задается
формулами (12) или (14) § 16.
(36)
о
Р {0О < оо I г\ (0) = с} = е~ас, где со - наибольший вещественный корень
уравнения
Ф(со) = со.
Если O^p^l, то со = 0, а если р> 1, то со = 0. Доказательство. Очевидно,
что
Р {0О < оо | ц (0) = с} = 1 - Р { sup [и - х (")] < с},
(37)
(38)
(39)
0< ц<оо
Р{ sup ц (ц)< х I ц (0) = с) = W^(x)c) ,
0<ы<6о W 1Х>
(40)
где W (х) определяется из соотношения
оо
(41)
о
§ 29. Флуктуации времени ожидания
129
Доказательство. Положим 0 (с) = inf (и: %{и) - и ^ - с и О ^ы < оо} и
0(с) = оо, если %(и) - и> - с для всех и ^ 0. Если т](0) = с, то
вероятность того, что максимальное время ожидания в начальном периоде
занятости не превосходит х, равна
Р {% ("X и + х - с для 0 < и < 0 (с)} = (42)
при х^с. Функция W(х) определяется в теореме 1 § 16. Теорема доказана.
Примеры, (i) Предположим, что в интервале времени (0, оо) требования
поступают в очередь согласно закону Пуассона с интенсивностью Я.
Требования обслуживаются единственным прибором, начинающим работать в
момент и = 0. Времена обслуживания %ь %2, ..., %г, ... являются взаимно
независимыми и одинаково распределенными положительными случайными
величинами с функцией распределения Р {%г ^ х} = Я (х). Они не зависят от
моментов прибытия требований. Прибор занят, если в системе есть по
крайней мере одно требование.
Положим
оо
ф(s) - J e~sxdH(x) (43)
о
при Re(s)^0,
ОО
а = | xdH(x) (44)
о
и
• ОО
°а = / (Х~ dH W* (45)
0
если соответствующие интегралы сходятся.
Обозначим через %(и) сумму времени обслуживания всех требований,
поступивших в интервале времени (0, и]. Тогда {%("),
0 ^ и < оо} - стохастический процесс со стационарными независи-
мыми приращениями. Это обобщенный пуассоновский процесс. Далее,
оо
Р{х(и)<4 = Це-*"-^Я"(*), (46)
л-0
где Я" {х) обозначает "-кратную свертку функции Я (х); Н0 (х) - 1 при х^О
и Я0(х) = 0 при х<0. Кроме того,
Е{е-" <")}=* е-иФ(л (47)
для Re(s)^s0, где
Ф(5) = Я[1-ф(5)], (48)
130
Гл. 5. Теория очередей
и р = Ф' ( + 0) = ка, а2 = - Ф" (+ 0) = к (а2 + сг^). Для нахождения
распределений и асимптотических распределений величин т| (/), a(t), Р(0,
0Г (г - 0, 1, 2, . ..) можно применить теоремы этого параграфа.
В частности, при ка < 1 предельное распределение виртуального времени
ожидания
для Re(s)>0. Если ка~^\, то W(x) = 0 для всех х.
Формула Полячека - Хинчина. Пусть в предыдущем примере требования
обслуживаются в порядке поступления. Обозначим через т]п, п- 1, 2, ...,
время ожидания п-го требования и положим т|0 = п (0). В 1932 г. А. Я.
Хинчин [42] доказал, что lim Р{т]п = W(х) при Аа<1, а преобразование
Лапласа -
Стильтьеса функции U^(;t) определяется по формуле (50). В 1930 г. Полячек
[53] рассмотрел процесс образования очереди, в котором п требований
поступают в интервале (0, t) таким образом, что времена между их
поступлениями являются взаимно независимыми и одинаково распределенными
случайными величинами. Он нашел распределение времени ожидания случайно
выбираемого требования в предположении, что требования обслуживаются
единственным прибором в порядке поступления, а времена обслуживания
являются взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными
величинами с функцией распределения Я (*) и не зависят от моментов
поступления требований. Полячек обнаружил, что при ka< 1 и ri->-оо, t ->
оо так, что n/t-+k, функция распределения времени ожидания случайно
выбранного требования стремится к W{х). При этом W (х) имеет
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed