Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
и апериодической цепью Маркова с пространством состояний / = {0, 1, 2,
...}. Следовательно, пределы lim Р {?" = k) = Pk, k = 0, 1, 2, ...,
существуют
П->оо
и не зависят от начальной длины очереди. При этом либо (i) Pk> 0 для & =
0, 1, 2, ... и {Pfe} - вероятностное распределение,
оо
т. е. либо (ii) Р* = 0 для k = 0, 1, 2.... В случае
(i)
fe=0
{?"} имеет единственное стационарное распределение, согласующееся с
{Pfe}. В случае (ii) {?"} не имеет стационарного распределения.
Пусть {Pfe} - стационарное распределение для {?"}. Положим
оо
P(2)=SPfe2fe (22)
k=0
для |z|^l. Тогда в силу (2)
Р(г) = [Р0 + Р(г)г~Р°]л(2), (23)
откуда
Р(г) = Р0 <1~(г)-1г)-' (24>
112
Г л. 5. Теория очередей
Требование Р(1)=1 дает Р0= 1 - я'(1)= 1 - у. Следовательно, если у<1. то
существует стационарное распределение {РД, производящая функция которого
задается формулой (24) с Р0 = 1 - у, а для {?"; /г = 0, 1, 2, ...}
выполняется случай (i). При у^ 1 предположение о существовании
стационарного распределения ведет к противоречию. Поэтому {?"; /г = 0, 1,
2, ...} не имеет стационарного распределения и выполняется случай (ii).
В следующей теореме вычисляется вероятность
Р {Р" < Щ - Р {ап > п - k} для 0<й</г.
Теорема 3. Если vh v2, ..., vn -переставляемые случайные величины, то
ГС -1
P{a">fe-/|?0 = ;} = 2 jP{W/ = /-fe} (25)
i=k
для i^k<n и k>0. Если k = г = 0, то Р {а^ > 01 ?0 = 0} = 1.
Доказательство. Согласно (4),
Р {ап > k - i | ?0 = i) = 1 - P {r - < k для r = 0, 1, ..., n - 1}.
(26)
Если fe>0, то правая часть определяется из формулы (1) § 8. Случай k - О
тривиален.
Теорема 4. Если vn г- 1, 2, ..., - взаимно независимые и одинаково
распределенные случайные величины, E{vr} = y<l и Var {vr} = ст2, то
независимо от распределения величины ?0
lim p{-fe-^Y <х| = Ф(д:), (27)
П-? оо [an12 j
где Ф {х) - нормальная функция распределения со средним 0 и дисперсией 1.
Доказательство. Согласно (5),
P" = So + ^"-S". (28)
Тогда по центральной предельной теореме
lim Pf Nn~"Y = Ф(х). (29)
n-> оо ( an'2 )
Далее, lim ?0//г'/2 = 0 п0 вероятности для любого ?0. Если у > 1,
ГС->°о
то \im Nn/n = у< 1 по вероятности, откуда lim IJn'12 = 0 по вероят-
Л-> оо ГС->оо
ности. Поэтому если у< 1, то р" и Nn имеют одно и то же
асимптотическое распределение при п-><х>. Теорема доказана.
§ 28. Флуктуации длины очереди
113
Замечание. Если предельное распределение
limPJ ?"-"V ^ Л=с(л:) (30)
fl-^oo 1 Sn J
существует и limg" = oo, то из (28) следует, что при у<1 слу-
П-> оо
чайная величина имеет то же асимптотическое распределение, что и Nn.
Например, если Р[vr>x} = h(x)lxa, где 1 <а<2 и lim h(cx)/h(x) = 1
Х-^оо
для любого положительного числа с, а также если gn таковы, что Р {vr >
§•"} - 1 /", то в формуле (30) G (х) = Ga(x), где Ga(x) - устойчивая
функция распределения, характеристическая функция которого равна
оо
| eizx dGa(x) = exp j - 12 Г (cos - i sin ^y-sgn z) Г (1 - a) j (31)
oo
для вещественных значений z.
Теорема 5. Если v1; v2, ..., v" - переставляемые случайные величины, а
начальная длина очереди ?0 равна г^1, то вероятность того, что начальный
период занятости прибора состоит из п обслуживаний, равна
Р{ро = "1&, = Я = |Р{^ = "-*'}- (32)
Доказательство. Формула (6) и теорема 1 § 4 дают
Р{Ро = "1?о = г'} =
= Р {Nr > r - i для г = 1, ..., п - 1 и Nn = n - г} =
= Р {Nr < г для г = 1.п и Nп = п - i} =
= ?р Wn = n-i}, (33)
и теорема доказана.
Если, в частности, vb v2, ..., vr, ...-взаимно независимые и одинаково
распределенные случайные величины, то рг, г = 0, 1, 2, ... - также
взаимно независимые случайные величины и
Р (Рг = п} = Р {ро = п | Со = 1) (34)
для г = 1, 2, ... и п = 1, 2......
Теорема 6. Если vh v2, ..., vr, ...-взаимно независимые и одинаково
распределенные случайные величины, то для i ^ 1
Р{ро<°°1Ь> = Я = в'. (35)
где б - наименьший неотрицательный вещественный корень уравнения n(z) =
z. Если и то 6=1, а если у> 1 или
Jt| - 1, то б< 1.
114
Гл. 5. Теория очередей
Доказательство. Согласно (6),
P{Po<00ISo = 0= 1-Р | sup (г - Nr)<i\, (36)
I. 1<Г < оо J
а правую часть можно получить из формулы (7) § 8.
Теорема 7. Если vh v2, vr, ...-взаимно независимые одинаково
распределенные случайные величины и начальная длина очереди ?0 равна 1,
то вероятность того, что максимальная длина очереди в начальном периоде
занятости прибора не превышает k, равна при k^ 1
P&r^k для r = 1, Pol&, = 0 = -^fi. (37)
где Qk определяется производящей функцией
оо
= (38)
*=0
для | z | < 6; 6 - наименьший неотрицательный вещественный корень
уравнения л (2) = z, a Q0 - произвольная отличная от нуля константа.
Доказательство. Пусть р(/) - минимальное из чисел г, для которых NT = r -
i. Если ?0 =/, то вероятность того, что максимальная длина очереди в
начальном периоде занятости прибора не превышает k, равна
Р {Nr < г + k - i для г = 1, ..., р (/)} = , (39)
где функции Qk, k = 0, 1, ..., определяются в теореме 2 § 7.
Если, в частности, в (37) г = 1, то получается вероятность того, что
