Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
величина р* имеет то же асимптотическое распределение, что и Nn.
Доказательство закончено.
118
Г л. 5. Теория очередей
Замечание. Если Р {vr > х] = h (х)/ха, где 1 < а < 2 и lim h (cx)/h (х) =
1 для любого положительного числа с и gn таково,
Х-> оо
что Р {vr > 1/ге, то
f N" - и/у 1
lim P ---------- < x [ = Ga (x), (57)
ft -> оо l S П )
где Ga(x) - устойчивая функция распределения, определенная соотношением
(31). С помощью формулы (54) можно доказать, что
( N* - л/у )
<58)
и, если у>1, то р' при п->оо имеет такое же асимптотическое
распределение, что и N*n.
Теорема 10. Если Vj, v2, v" - взаимно независимые слу-
чайные величины, то
Р {pj < га + А: | ?0 = &} = Р {Л/п > га + А: - 1} +
Л-1 П-1
+ 2 2(] + Nn-N, = l) (59)
/=1 1=0
для п~^ 0 и k~^\. Если k=l, то (59) принимает вид
П
Р {Ро ^ " 1 Со =1} =1 - S (1 -i)pwn = j). (60)
/=о
Доказательство. В силу (6)
Р {Ро < п + k | ?0 = к) =
= Р {N*^r - k для некоторого г = 0, 1, ..., п + к - 1}. (61)
Отсюда и из (2) § 9 получаем, что при k ^ 1
Р {ро<ге + /г|?0 = А:} =
= Р {Nr ^ г + k - 1 для некоторого г = 1,2, . .., п} =
= 1 - Р {Nr - г < k - 1 для г = 1, 2, .. ., п}, (62)
а правая часть находится по формуле (1) § 6 для k~^\ и по фор-
муле (4) § 6 для k = 1.
В силу (7)
Р {Р; < п + k 1 ?0 = k) = Р {p;+fe < п |Со = 0}, (63)
а правую часть можно, получить из формулы (47).
§ 28. Флуктуации длины очереди
119
Отметим еще интересное равенство
Р{р2<я + Л|Со = *} = 1-Р_{С"<*1С0 = 0}, (64)
вытекающее из (1) и (62).
Теорема 11. Если {vr} -взаимно независимые и одинаково распределенные
случайные величины, то для k^\
Р {Ро<°° l?o = fe} = 1 -Qk-v (65)
где Qk, k = 0, 1, 2, ..., определяется в теореме 2.
Доказательство. Согласно (62),
Р {Р^< 00 1?0 = 6} = 1 ~Р{ sup (Nr-r)<k- 1}, (66)
1^Г < оо
а правую часть можно получить из теорем 3 и 4 § 6. Если Jt^l и у ^ 1, то
Qk = 0 для любого k. Если у < 1, то Qk > 0 при k^O.
Пример. Предположим, что в интервале времени (0, с") требования поступают
в очередь в моменты т', ..., ..., где
т' - т'_р r= 1, 2, ..., являются взаимно независимыми и одинаково
распределенными положительными случайными величинами с функцией
распределения F(x), а т' = 0. Требования обслуживаются единственным
прибором, начинающим работать в момент и = 0. Пусть времена обслуживания
будут взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными
величинами с функцией распределения Н(х)= 1 - е~^х (х^О), и пусть они не
зависят от моментов прибытия требований. Обозначим через ?0 начальную
длину очереди. Этот процесс Q' образования очереди - обратный для
процесса Q, определенного следующим образом.
В интервале (0, оо) требования поступают в очередь согласно закону
Пуассона с интенсивностью ц. Требования обслуживает единственный прибор,
начинающий работать в момент ы = 0. Времена обслуживания являются взаимно
независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функцией
распределения F(x). Они не зависят от моментов прибытия требований.
Начальная длина очереди равна ?0. Иначе говоря, Q'- обратный процесс для
Q = {?0; NT, г = 0, 1, 2, ...}, где vu v2, . . ., \r, ... - взаимно
независимые и одинаково распределенные случайные величины с
распределением
оо
РК = Л= \e-^^f-dF{x) (/ = 0, 1, 2, ...). (67)
о
120
Гл. 5. Теория очередей
Распределение для Nr = vt + ... +vn r = 0, 1, 2, равно
оо
Р{^ = /}= j e-**-tef-dFr(x) (/ = 0,1,2,...), (68)
о
где Fr(x) есть г-кратная свертка функции F{x)\ F0{x)= 1 при х^О и F0(x):=
0 при х<0.
Для обратного процесса Q' обозначения ?', ?', а', р', р' имеют тот же
смысл, что и ?", ?", ап, р", р" для процесса Q. Пусть Q' - двойственный
процесс для Q. Мы будем обозначать через ?', %> Рп> Р" соответствующие
случайные величины для Q*. Легко видеть, что а' = а*, Р' = Р* и р' = р*.
В этом параграфе определены распределения случайных величин а*, р* и р'.
Для того чтобы можно было применить общие теоремы, введем следующие
обозначения:
ОО
Ф (s) = J" e~sx dF {х) (69)
о
для Re(s)^=0,
оо
6=J xdF(x) (70)
о
и
оо
а2 = j (x-b)2dF(x), (71)
о
если соответствующие интегралы сходятся.
Достаточно найти распределения величин ?' и ?'. Согласно (3),
Р К+1 < * 15о = о = Р &+*+. < * I So = *'}. (72)
откуда следует, что можно ограничиться нахождением распределения величины
?' для "=1, 2, .... В дальнейшем мы будем пользоваться обозначением ?q =
?0-1. Найдем распределение случайной величины ?'.
Теорема 12.
P{l'n<k\!' = /} =
П
= P{Nn>n + i-k}-yijP{N] = j-k}P{Nn4>n + i-j}, (73)
1=к
$ 2$. Флуктуации времени ожидания
121
если k=\, 2, . . . и i - О, 1 В частности,
П
Р {l'n<k\% = 0) = '2ilfP{Nl='i-k} (74)
для k=\, 2, Распределение случайной величины Nr, г = О, 1,2,
определяется по формуле (68).
Доказательство. Легко видеть, что
t^K-. + i-'vT <75>
при п = 1, 2, . .., откуда
^ = тах {(п-г)-(ДД-Л'г) для r = 0, 1........ ли %'0 + n-Nn}. (76)
Если в (76) заменить vb v2, ..., v" на v", v"_1( ..., V] соответ-
ственно, то получится новая случайная величина
