Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
? -> оо
по вероятности. Очевидно, что lim г|(0)/]/Т = 0 по вероятности.
t -> ОО
Поэтому при р> 1 величины р*(/) и х'(^) имеют одинаковые асимптотические
распределения при t-^-oo. Теорема доказана.
Замечание. Пусть {%("), 0 ^ и < оо} - обобщенный пуассоновский процесс,
определяемый соотношением (32), причем для него верно (33). Тогда,
используя (68), можно доказать, что
(71)
134
Гл. 5. Теория очередей
.Если р>1, то р*(/) и x'(t) имеют одинаковые асимптотические
распределения при / ->оо.
Теорема 10. Если {%(и), 0 ^ и < оо} - процесс с переставляемыми
приращениями, то
Р {во<* + c|ti(0) = с) = Р{х(*)>* + с} +
+ JJ (j~ij)dydzP{%(y)<:y + c, х(/)<2 + с} (72)
0<У<2<(
для t^O и с>0. Если в (72) с = 0, то
t
p(e;</|r1(o) = o} = i-J(i-f)^P{x(/)<,}. (73)
о
Доказательство. В силу (4)
Р(бо</ + с|т](0) = с} = Р {/("""-с для некоторого и е [0, / + с]}.
(74)
Отсюда и из (2) § 18
Р {во =0 + с|т](0) = с} = Р (х(ы) >ы + с для некоторого "е[0, /]} = = 1-
Р{х(й)-н^с для 0^и ^/}; (75)
вероятность в правой части можно найти по формуле (1) § 15. При с = 0
(75) следует из (3) § 15.
Сравнивая (64) и (75), получаем, что для с>0
Р (бо + с|т| (0) = с} = Р {р* (/ + с) < 11л (0) = 0), (76)
а правую часть определяем по формуле (62). Отсюда следует (72).
Представляет интерес также соотношение
Р(0о</ + с|л(О) = с} = 1 -Р{г](/)<с|л(0) = 0} (77)
при с ^3=0. Оно вытекает из (1) и (75).
Теорема 11. Пусть {%("), 0 ^ и < оо} - процесс со стационарными
независимыми приращениями. Тогда для с 53= 0
Р {во < оо [ г| (0) = с} - 1 - (с)]' (78)
где W (л:) определяется в теореме 2 для р < 1 и W {х) = 0 при р^2= 1.
Доказательство. Согласно (75),
Р{во<°°|т)(0) = с} = 1-Р{ sup [х(ы)-"1<с}, (79)
')<И<00
§ 29. Флуктуации времени ожидания
135
а правую часть можно получить из теоремы 2. Если р<1, то W7(c)>0 для с^О,
а если р^1, то W (с) = 0 для с^О.
Пример. Пусть в интерв-але времени [0, оо) требования поступают в моменты
х'0, х[, ..., х', где Тд = 0 и х' - х'+1,
r= 1, 2, -взаимно независимые одинаково распределенные
положительные случайные величины с функцией распределения Р |т' - т'_, ^
х} = F(x). Требования обслуживаются единственным прибором, начинающим
работать в момент и = 0. Пусть т] (0) - начальное время занятости
прибора. Времена обслуживания Хп %2> •••> ••• являются взаимно
независимыми и одинаково
распределенными случайными величинами с функцией распределения Н{х)= 1 -
е~^х (х^О); они не зависят от моментов поступления требований.
Обслуживающий прибор занят, если в системе есть по крайней мере одно
требование. Обозначим через %'(и) полное время обслуживания требований,
поступающих в интервале [0, и]. Тогда процесс UP' = {ti(0); %'(и),
0^.и<оо) будет обратным для процесса 1Е = {г)(0); %{и), 0 ^ и < оо},
определяемого следующим способом. В интервале времени (0, оо) требования
поступают в очередь, подчиняясь пуассоновскому процессу с интенсивностью
р. Требования обслуживаются единственным прибором, начинающим работать в
момент и = 0. Начальное время занятости прибора равно т)(0). Времена
обслуживания являются взаимно -независимыми и одинаково распределенными
случайными величинами с функцией распределения F(x), не зависящими от
моментов поступления. Иначе говоря, W' - процесс, обратный к ^ = {т|(0);
%(ц), 0^ц<оо}, где {%(и), 0 ^и < оо} - обобщенный пуассоновский процесс,
для которого
ОО
р (X (")<*} = 2 рЛх). (80)
п=О
Здесь Рп{х) обозначает /г-кратную свертку функции F(x); F00*0=1 ¦при х^0
и Е0(х) = 0 при х<0.
Для обратного процесса W' обозначим через т/ (t), a' (t), |Т (t), 0' те
же случайные величины, что и т)(^), a(t), |3(^), 0Г для процесса W. Если
IF* - двойственный процесс для W, то будем обозначать через "п* (/), a
(t), |Т(0> *1* соответствующие случайные величины для 1F*. Тогда легко
видеть что a'(t) = a(t), р'(f) = Р* (f) 0 0q = 0j. Распределения
случайных величин a (t), р* (t) и 0* найдены в этом параграфе. Для
применения общих теорем введем следующие обозначения:
ОО
<p(s)=J e~sxdF(x) (81)
.о
136
Гл. 5. Теория очередей
ДЛЯ Re(s)^0,
ОО
b = J xdF(x)
(82)
оо
db = I {x-b)2dF{x),
(83)
О
если интегралы в этих формулах сходятся. Тогда
Ф (s) = |1 [1 - ф(х)]
(84)
при Re(s)^0, р = Ф'( + 0) = рФ и <т2 = Ф"( + 0) = р(62 +
ог^(
1. В интервале времени (0, оо) требования поступают в очередь в
соответствии с пуассоновским процессом с интенсивностью X. Их обслуживает
единственный прибор, начинающий работать в момент и = 0. Времена
обслуживания
Xi, ЗСз Хг> ¦ ¦ ¦ являются взаимно независимыми одинаково распределенными
положительными случайными величинами с функцией распределения P{X/-^*}-
*= Н (х). Они не зависят от моментов поступления требований.
Обслуживающий прибор занят, если в системе есть хотя бы одно требование.
Найти вероятность Gn (х) того, что период занятости (отличный от
начального периода) состоит из п обслуживаний и его длительность не
превосходит х.
2. В условиях задачи 1 предположим, что начальное время занятости при*
