Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
виртуальное время ожидания в момент /, полное время бездействия прибора в
интервале (0, /) и длительность начального периода занятости зависят от
входа
J) То есть воды из других источников. - Прим. ред.
§ 32. Водохранилище бесконечной емкости
143
{/("), 0^и<оо} для определенного в § 29 процесса образования очереди.
Именно по этой причине мы используем в этом параграфе аналогичные
обозначения.
Далее мы увидим, что доказанные в гл. 2-4 общие теоремы можно применить и
в теории водохранилищ. Мы рассмотрим различные математические модели для
процессов хранения и создания запасов и укажем, как эти общие теоремы
применяются для них. Математические модели мы разделим на два главных
типа: соответствующие дискретному процессу хранения, когда случайные
величины и - 0, 1, 2, ..., принимают только целочисленные значения, и
общему процессу хранения, когда случайные величины ?("), 0^"<оо,
принимают любые вещественные значения. Мы будем предполагать, что
начальное содержимое водохранилища г) (0) и процесс {?("), 0<щ<оо}
взаимно независимы.
Дискретные процессы хранения
(i) Пусть начальное содержимое водохранилища равно г)0, где случайная
величина г)0 принимает лишь неотрицательные целые значения. Пусть
количество воды, втекающее в водохранилище в моменты г=1, 2, ..., равно
V[, v2, ... соответственно. Если водохранилище непусто, то отток воды
осуществляется непрерывно с постоянной единичной скоростью. Положим Nr -
\l+ ... + vr для r= 1, 2, ... и N0 - 0. Обозначим через содержимое
водохранилища непосредственно после момента п. Обозначим через 0О момент
времени, когда водохранилище впервые опустело, т. е. наименьшее из чисел
г, для которых rjr = 0. И наконец, пусть ап - полное время в интервале
[0, я], когда водохранилище пусто.
Тогда %{u) = N[U], б (и) = и и ?(ы) = М[и] - и для 0. Кроме того, г)" =
г)(п + 0), ап = а(я), а 0О определяется формулой (4). В этом случае будет
рассматриваться процесс хранения типа
Q = {%; Nr, г = 0, 1, 2, ...}.
Этот процесс хранения обладает точно такими же стохастическими
свойствами, что и процесс образования очереди Q, введенный в § 27. Здесь
г)0 соответствует начальной длине очереди 'Iп соответствует длине очереди
непосредственно после окончания обслуживания n-го требования; а" имеет
одно и то же значение для обоих процессов; 0О соответствует р0 - числу
требований, обслуженных в начальный период занятости.
Предположим, что vI; v2, ..., \т, ...-либо переставляемые случайные
величины, принимающие неотрицательные целые значения, либо, в частности,
взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины,
принимающие неотрицательные целые значения. Тогда можно применить теоремы
§ 28 для
144
Гл. 6. Процессы хранения и создания запасов
нахождения распределений и асимптотических распределений ве-личин г\п, а"
и 0О. Имеем
Р{%<^|т1о = /}-Р{^<г + ^ для r= 1, 2, п и Nfi^n + k - /} (7) при i - 0,
1,2.....
Р{а">& - /|т10 = /}= 1 - P{r - Nr<k для r = 0, 1, 1} (8)
при 0 ^i^k<n и
Р {Во = я I т1о = /} = Р {Nr < г для г = 1, ..., п и Nn = п - /} (9)
при г= 1, 2, .... Теперь теоремы 1 - 6 § 28 применимы.
Теоремы § 28 можно использовать также для нахождения распределений и
асимптотических распределений величин г\п, а", 0О, если вместо
предыдущего случая рассмотреть случай с ?,(u) = u~N[Ui при "^0.
Замечание. Пусть v*, v*, ..., v*, ...-двойственная последовательность для
определенной выше последовательности vb v2, . .., Vr, ..., и пусть N* =
V* + ... + vr* при г = 1, 2, .. .; N0 = 0. Процесс хранения
<2* = {т10; N'r, г = 0, 1, 2, ...}
обладает точно такими же стохастическими свойствами, как и двойственный
процесс образования очереди Q*, введенный в § 27. Случайные величины а' и
0* для Q* обозначают то же, что ап и 0О для Q. Тогда распределения
величин а* и 0* можно получить с помощью теорем 8-11 § 28.
(ii) Пусть начальный объем запасов на складе определяется случайной
величиной г) (0), принимающей неотрицательные целые значения. Пусть
{?("), 0 ^ и< оо} - сепарабельный случайный процесс либо с
переставляемыми, либо, в частности, со стационарными независимыми
приращениями. Пусть Р{?(0) = 0}~=1 и ?(") принимает только целочисленные
значения. Тогда
Р fn (0 < ^ IТ1 (0) = "} = Р { sup ~Z,{u)<k и (10)
Это следует из (1). В самом деле, если в (1) заменить ?(0 -?(") на Z,{t -
u), 0^.u^t, то получится новая случайная величина с точно таким же
распределением, что и т)(<). Это и доказывает равенство (10). Согласно
(2),
P{a(<)>*-/|Tj(0) = i}= 1-Р{ sup ?*(")<*} (11)
для 0 ^i<x <t + i, где ?* (и) = - ? (и). Согласно (3),
Р{00<< h(0) = t}= 1 -Р{ sup С (")<*} (12)
для / > 0, где I* (и) = - С (")•
§ 32. Водохранилище бесконечной емкости
145
Предположим, что почти все выборочные функции процесса {?("), 0<!"<оо}
имеют своими скачками либо только величины
1, - 1, - 2, либо только величины -1, 1,2 Иначе говоря,
либо ? (и) = ? (и), либо ? (и) = ?*(")= - ? (и) при 0 ^ и < оо, где
процесс {?("), 0^"<оо} определен в § 21. Тогда для нахождения
