Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
...} образует цепь Маркова с пространством состояний / = {0, 1, ..., пг].
Если л0>0 и л0 + я, < 1, то эта цепь Маркова неприводима и апериодична.
Таким образом, предельное распределение
lim Р {т]"<М = Q'k (6 = 0, 1 пг) (13)
Л->00
существует и не зависит от распределения величины %. Очевидно, что
Ti"+i = min{[ri"- l]+ + v", пг) (14)
150
Гл. 6. Процессы хранения и создания запасов
для n = 0, 1, 2, .... Отсюда
Qk = <Э1+л> + (Эл+ • •• +Q\nk (15)
для k = 0, 1, ..., т- 1 и Q^=l- Сравнивая (10) и (15), видим, что Q*k =
QkjQm Для fe = 0, 1 т.
(ii) Пусть т - положительное целое число. Начальный объем запасов на
складе вместимости т определяется случайной величиной г| (0) со
значениями 0, 1т. Пусть ?(") = ?(") для и^О, где стохастический процесс
{?("), 0<iu<oo) определен в § 21. Иначе говоря, мы предполагаем, что vb
v2, ...,vr, ...-переставляемые или взаимно независимые и одинаково
распределенные случайные величины, принимающие неотрицательные целые
значения. Положим Nr = v, + ... + vr для г = 1, 2, ... и N0 = 0. Пусть
Мы), н ^ ы < оо) - сепарабельный пуассоновский процесс с интенсивностью
Я, а величины М) и Мы)} независимы. Положим
I {и) = Nv (U) - v (и) для Й>0 и
0 (0 = inf {и: | {u) - - i и 0<ы<оо) (16)
при />0.
Из теоремы 1 следует, что.
Р Ь\ (0 < k h (0) = т} =
= Р {? (н) ^ k для 0 ^.u^0{m - k) и 0 (т - k) ^ t) (17)
при k = 0, 1т. В самом деле, легко видеть, что теорему 1 можно применить
к процессу {? (и), 0 ^ и < оо), если т - положительное целое число и х =
0, 1, Отсюда и получается (17),
если принять во внимание, что стохастические процессы {? (и), 0^.u^t) и
(М) - М - ы)> O^u^i) имеют одинаковые конечномерные распределения.
Теорема 3. Если (?(ы), 0 ^ и < оо) - процесс со стационарными
независимыми приращениями и п0> 0, то для k = 0, 1, .. j, m
lim Р{т|(*) <*} = -§*-, (18)
t oo 'W
где Qo, Qi, ..., Qm заданы в теореме 2. Предельное распределе-
ние (18) не зависит от начального распределения.
Доказательство. Случай k = m очевиден. Если k = 0, 1,
..., m- 1, то в силу (17)
lim Р{т#)<А:|т1(0) = т} = Р{ sup ?(u)<?}, (19)
t-юо 0
а правую часть получаем из теоремы 5 § 21. Легко видеть, что предел (19)
не зависит от распределения величины т](0). Теорема доказана.
§ 33. Водохранилище конечной емкости
151
Замечание. Стохастический процесс {т](ы), 0^и<°о} является марковским
процессом с пространством состояний / = = {0, 1, m}. Предположим, что
л0 > 0. Тогда предел
lim Р (г) (t) ^ k) = Q* (k = 0, 1, m) существует и не зависит от
t-> оо
распределения величины ц (0). Для t^S>0, ы > 0 и /г = 0, 1, .m- 1 имеем
k
Р {г|{t"Ни) </г} = (1 - Ки) Р [r\(t)^k}+Ku 2 л/Р {г)(0 </г+ 1 - /}+о(и)
/=о
(20)
и Р{ц(0<т}= 1. Если из обеих частей равенства (20) вычесть Р {ц (t) <
/г), устремить i к оо, разделить уравнение на и и устремить и к 0, то
получим
q;-s*,q;+i., (2d
для /г = 0, 1, . . .,т-1 и Q^=I. Отсюда Q* = QkjQm для k = 0, 1, пг, где
Qk (k = 0, 1, ...) заданы соотношением (10). Этот результат согласуется с
(18).
Общие процессы хранения
(i) Пусть пг - положительное вещественное число. Начальное содержимое
водохранилища емкости m определяется случайной величиной г) (0),
принимающей значения из отрезка [0, пг]. Обозначим через %(и) полное
количество воды, втекающее в водохранилище в интервале времени (0, и].
При переполнении водохранилища избыток воды вытекает. Если водохранилище
непусто, то отток воды осуществляется непрерывно с постоянной единичной
скоростью, т. е. 6(и) = и для и^0. Если {%("), 0 ^ и< оо} - сепарабельный
случайный процесс со стационарными независимыми приращениями, почти все
выборочные функции которого являются неубывающими ступенчатыми функциями,
обращающимися в нуль при ы = 0, то для Re(s)^0
Е{е-^(")} = е-"ф(5) (22)
с надлежащей функцией Ф("). Тривиальный случай Р{%(и) = 0}=1 для всех ы^0
исключается из рассмотрения.
Для с>0 положим
0(с) = inf{ы: %(ы)^ы - с и 0^ы<оо} (23)
и 0(с) = °о, если %(и)> и - с для всех ы^0.
Из теоремы 1 следует, что
Р {ii (0 < * IЛ (0)} = т} =
= Р[%(и)^.и + х для 0 < " < 0 (т - х) и 0(пг - х)^t] (24)
152
Гл. 6. Процессы хранения и создания запасов
при так как процессы {%(и), 0и - и),
0^u*S^t} имеют одинаковые конечномерные распределения.
Теорема 4. Если [% (и), 0 ^ и < оо} - сепарабельный случайный процесс со
стационарными независимыми приращениями, почти все выборочные функции
которого являются неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в
нуль при и = 0, то для
для Re(s)>(c), где (c) - наибольший вещественный корень уравнения Ф (s) = s,
a W (0) - отличная от нуля константа.
Доказательство. Согласно (24), при О^х^т
lim Р fn (t) < * 1Л (0) = m} = Р {% ("X и + х для 0 < и < 0 (пг - х)},
а правую часть находим из теоремы 1 § 16. Процесс
{ri(0> 0 < оо} - марковский. Легко видеть, что предельное
рас-
пределение lim P{t}(?)^x} не зависит от распределения вели-
чины т](0). Теорема доказана.
Явные формулы для W (х) приведены в § 16. Если р = Ф'( + 0) - конечное
