Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 51

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 91 >> Следующая

вытекает. Обозначим через б (и) полное количество воды, потребляемое в
интервале времени (0, и]. Спрос удовлетворяется, если в резервуаре для
этого достаточно воды, в противном случае разница возмещается из другого
источника. Положим ? (и) = % (и) - б (и) для "^0. Пусть процесс {? (и), 0
^ " < оо} не имеет скачков отрицательной величины. Обозначим через тД/)
содержимое водохранилища в момент t.
Наша первая цель - выразить т]Д) через г)(0) и ?("),
Для простоты предположим, что т)(0) = т, и для фиксированного t обозначим
?(") = ?(/) = ?Д - и) при
Теорема 1. Если ri(0) = m, процесс {?(0), 0 <1 и <11) не имеет скачков
отрицательной величины и
0 (т - х) = inf {и: ?(")^х -т и (1)
существует для 0<1х^т, то ri (t) <1 х (0 <1 х <1 т) тогда и только тогда,
когда ?(и)^х при 0 <1"<10(т -х).
Доказательство. При х = т теорема тривиальна. Предположим, что 0 ^ х < т.
Пусть т] (0) = т и и - наибольшее из чисел отрезка [0, /], для которых
х\(и) = т. Тогда содержимое водохранилища в момент t равно
,т](0 = sup{?(*)-?(у) для и ?(t)-?(") + т), (2)
откуда
•n(z) = sup{?(2)-?(t>) для и ?(z)-?(") + m}<m (3)
при u<z<t.
Если обозначить ?(о) = ?(f) - ?(t - v) для то из (2)
и (3) получим, что т)(/)^х (0<!x< m) тогда и только тогда, когда
? (г) ^ х для 0 <; г t - и (4)
148
Гл. 6. Процессы хранения и создания запасов
где и - наименьшее из чисел в интервале [0, f], удовлетворяющих условиям
? (г) - ? (у) < т для 0 < у ^ z ^ - н (6)
и
? {t - и) - ? (г) < 0 для 0 <z<t - и. (7)
Теперь, если (0^x<m), то в силу (5) существует
такое число у е (0, t - u], что ? (у) х-т. Положим у = inf {и: ? (у) <!х
-m и 0<у<П - и}. Тогда ?(у) = х - т и у> 0. Покажем, что неравенства (4)
при y^z^i-u и (5) автоматически выполняются. Положим в (6) у = у. Тогда
?{г) - ?{у)<т при 0<y^z^.t - и, или ?{z)<x при 0-м, т. е. (4) выполняется
при у <!z - и. Если у - t - и, то очевидно, что (5) верно. Если же
y<t - и, положим в (7) z = у. Тогда ? (t - и) < ? (у) = х - т, т.
е. (5)
верно и в этом случае. Обратно, если (4) выполняется для u = t - y, где у
то же, что и выше, то из (4) следуют (5), (6) и (7).
В соответствии с этим тДД^х (O^x^m) тогда и только тогда, когда
существует такое число у е [0, Д, что ? (у) = х - т. Если у - наименьшее
из этих чисел, то ?(z)^x при O^z^y. Теорема доказана.
Пусть тДО) -случайная величина, принимающая значения из отрезка [0, т\, и
{?("), 0 ^ и < оо} - вещественный сепарабельный случайный процесс. Тогда
т] (г1)-случайная величина для всех t^O. Мы будем предполагать, что
{?(u), 0<!м<оо} и тДО) независимы, и найдем распределение величины тД/)
для нескольких типов процессов хранения и создания запасов.
Дискретные процессы хранения
(i) Пусть m - положительное целое число. Начальное содержимое
водохранилища емкости т равно ,п(0) = ,п0, где %-случайная величина,
принимающая значения 0, 1, 2, ..., т. Предположим, что в моменты времени
ы=1, 2, ..., г, ... в водохранилище втекает соответственно vIt v2, ...,
vr, ... единиц количества воды. Отток воды осуществляется непрерывно с
постоянной единичной скоростью, если водохранилище непусто. Положим Nr =
+ ... + vr
для r = 1, 2, ... и N0 = 0. Тогда %{u) = N[U], 6(ы) = ы и ?{u) = N[u]-u
для а>0. Пусть т]" = т] (п + 0), п= 1,2,.... Для i ^ 1 определим р(г) как
наименьшее из чисел г, для которых NT<^r - i и r = 1, 2,---
Если vIf v2, ..., vr, ...-переставляемые случайные величины, или, в
частности, взаимно независимые и одинаково распределенные случайные
величины, принимающие неотрицательные целые значения, то
Р fan < k | rjo = m) =
= P [Nr<r+k для r- 1, . ..,p (m - k) и p(m - k)<^.n) (8)
§ 33. Водохранилище конечной емкости
149
при k = 0, 1, пг. Это следует из теоремы 1, если принять
во внимание, что процессы (?(ц), и = О, 1 п) и {?(") - ?(я-и),
и = О, 1, п] имеют одно и то же совместное распределение.
Теорема 2. Пусть Vj, v2, \г, ...-взаимно независимые
и одинаково распределенные случайные величины с распределением Р{vr = /}
= nj для i = 0, 1, 2, ... и л0>0. Тогда
lim Р ft* <*} = #- (9)
ОО Чгп
для & = 0, 1, ..., пг, где Q0 - отличная от нуля константа, a Q,, Qi,
•••, Qm вычисляются из рекуррентного соотношения
Q*=in;.Qft+1_, (6 = 0,1,...). (10)
/-0
Предельное распределение (9) не зависит от начального распределения.
Доказательство. Случай k = m очевиден. Пусть k = 0, 1, .. ., m - I. Если
в (8) устремить п к оо, то получим
lim Р ft" ^ k 1% = m) = Р {Nr < г + k для г = 1, ..., p{m - k)}. (11)
оо
При Р (р (m -fe) < оо}= 1 это очевидно. Если же Р {р {m-k) = оо} > 0, то
Р{Nr<r + k для л=1, 2, ...} = 0 и, следовательно, (11) также верно.
Правую часть равенства (11) можно найти из теоремы 2 § 7. Легко видеть,
что (9) не зависит от распределения величины т^.
Обозначим через л(г) производящую функцию величин vr, г - 1, 2, ....
Тогда
<12)
fc=!
для |г|<б, где б -наименьший неотрицательный вещественный
корень уравнения n(z) = z. Явные формулы для Qk, k=\, 2.............
приведены в § 7.
Замечание. Последовательность случайных величин {т)о, т),,... ..., т)п,
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed