Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
139.
[26] Prabhu N. U., Some exact results for the finite dam, Ann. Math.
Statist., 29 (1958), 1234-1243.
[27] Prabhu N. U., On the integral equation for the finite dam, Quart. J.
Math. Oxford, Sec: Ser., 9 (1958), 183-188.
[28] Prabhu N. U., Application of generating functions to a problem in
finite dam theory, J. Austral. Math. Soc., 1 (1959), 116-120.
[29] Prabhu N. U., Time-dependent results in storage theory, J. Appl.
Prob., 1 (1964), 1-46.
Г30] Prabhu N. U., Queues and inventories, New York, 1964.
[31] Prabhu N. U., Unified results and methods for queues and dams,
Proceedings of the Symposium on Congestion Theory, University of North
Carolina Press, 1965, pp. 317-336.
[32] Takacs L., The distribution of the content of a dam when the input
process has stationary independent increments, J. Math. Mech., 15 (1966),
101-112.
[33] Takacs L., Combinatorial methods in the theory of dams, J. Appl.
Prob.
1 (1964), 69-76.
[34] T akacs L., The distribution of the content of finite dams, J. Appl.
Prob., 4 (1967), 151-161.
[35] Takacs L., On dams of finite capacity, J. Austral. Math. Soc., 9
(1967).
[36] W e e s а к u 1 B., First emptiness in a finite dam, J. Roy.
Statist. Soc., Ser. В 23 (1961), 343-351.
[37] W e e s а к u 1 B., Y e о G. F., Some problems in finite dams with
an application
to insurance risk, Z. Wahr., 2 (1963), 135-146.
[38] Y e о G. F., The time dependent solution for an infinite dam with
discrete
additive inputs, J. Roy. Statist. Soc., Ser. B, 23 (1961), 173-179.
Глава 7 ПРОЦЕССЫ РАЗОРЕНИЯ
§ 35. ПРОЦЕССЫ РАЗОРЕНИЯ В СТРАХОВОМ ДЕЛЕ
Математическая теория процессов разорения, возникающих в страховом деле,
ведет начало с 1903 г. с работ Лундберга [21, 22]. Дальнейшие
исследования в этой области проводились между 1926 и 1955 г. Лундбергом
[23-25], Крамером [9-14], Эстером [17], Сегердалом [31-34], Тэклиндом
[36], Саксеном [29, 30], Амметером [1], Арфведсоном [2 - 6] и др.
Предположим, что компания производит обычные страховые операции
(страхование жизни, нетрудоспособности, несчастного случая, болезни,
аварии, пожара, страхование обязательств и т. д). Держатели полисов
регулярно выплачивают страховые премии. Компания собирает премии в
резервный фонд и, если происходит страховой случай, выплачивает
договорную сумму. Страховую компанию можно рассматривать как
регулировочный аппарат для держателей полисов, индивидуальные риски
определяются компанией в виде цены страховой премии. Размеры страховых
премий назначаются таким образом, чтобы в течение длительного периода они
покрывали в среднем выплаты компании на страховые случаи. Страховая
премия, исчисляемая этим способом, называется чистой страховой премией. В
дополнение к чистой страховой премии держатели полисов выплачивают ценную
страховую премию для покрытия нежелательных отклонений от среднего. Сумма
чистой и ценной страховых премий составляет общую страховую премию. Это
пример страхования лишь с положительными премиями и положительными
страховыми суммами.
Существуют другие виды страхования, противоположные описанному. Типичный
случай - операции с пожизненной рентой. Здесь компания постоянно
выплачивает ренту держателям полисов, в то время как случайная смерть
одного из держателей полисов представляет соответствующую сумму в
распоряжение компании, играя таким образом роль выплаты держателя полиса
компании, или выплаты компании держателю полиса отрицательной суммы.
Рента также может рассматриваться как отрицательная страховая премия. Это
пример страхования лишь с отрицательными страховыми премиями и
отрицательными страховыми суммами.
Случаи только положительных страховых сумм (отсутствие ренты) и только
отрицательных страховых сумм (чистые операции с рентой) являются важными
частными случаями. Однако, вообще говоря, компания может вести страховые
дела обоих типов.
§ 35. Процессы разорения в страховом деле
159
Суммы, выплачиваемые компанией при установлении страхового случая, могут
тогда быть как положительными, так и отрицательными. Аналогично страховые
премии, взимаемые компанией, могут быть как положительными, так и
отрицательными (выплата по ренте).
Теория разорения изучает вероятностные законы, которым подчиняются
случайные флуктуации резервного фонда. Знание этих законов важно для
того, чтобы быть в состоянии вовремя принять меры предосторожности.
Математическая модель процесса разорения
Пусть в интервале времени (0, оо) страховые случаи происходят согласно
процессу Пуассона с интенсивностью X (т), 0^т<оо. Страховые суммы,
выплачиваемые компанией, которые могут быть как положительными, так и
отрицательными, являются взаимно независимыми одинаково распределенными
случайными величинами с функцией распределения Н (х), и они не зависят от
моментов наступления страховых случаев.
Вместо того чтобы рассматривать процесс наступления страховых случаев в
обычном времени, удобно ввести новую временную переменную (оперативное
