Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 43

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 91 >> Следующая

преобразование Лапласа - Стильтьеса (50).
Теперь покажем, что независимо от распределения случайной величины ri (0)
и дадим, таким образом, новое доказательство результата Поля-чека -
Хинчина. Интересно отметить, что формулу (50) также получил в 1930 г.
Крамер [16] в связи с одной задачей страхования.
Докажем равенство (51). Обозначим через т1( т2, хт,.....
моменты поступления требований. Тогда тг-Tr_j (r= 1, 2, тй=0)
lim Р (г)(/) х) = Р { sup [% (и) - и] = W (х) (49)
равно
со
Q (s) = | е-" dW {х) =
1 - ка
(50)
о
!_ я.-Lr *(?>
S
lirmPfrin <;*}= Р{ sup [%(и)~ы]<*},
(51)
§ 29. Флуктуации времени ожидания
131
будут взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными
величинами с функцией распределения F(x)= 1 - е~%х, х~^0. Очевидно, что
sup [% (и) - и] = sup [% (т, + 0) - т,] = sup (xi + ... + %r - т,).
0^и<оо 0^г<оо 0<Г < ОО
(52)
Покажем, что
lim Р{т1"<л:} = Р{ sup {%, + ... +Х,--т,Х*}; (53)
П-> оо О^Г < оо
отсюда и будет следовать равенство (51).
Случайные величины г)0, тц, ..., г)", ... удовлетворяют рекуррентному
соотношению
i1"+i = h" + X"-(Tn-Tn_1)]+ (54)
для п = 0, 1,2,..., откуда
т)"+1 = max [0, %п ~ (т" - т"_,), Xn-i + %п~ (г" - т"_2), ...
• ••, %2+ • • • +%п~Ьп- Ti). Xi + • • • + %п ~ (т" - т0) + -
По]. (55)
Если в формуле (55) заменить %п, ..., Xi на Xi, Хг..............%п
и (tn-Tn-j), (т" - т"_2), ..., (т" - т0) на т,, т2 т" соответственно, то
получится новая случайная величина с тем же распределением, что и (55).
Поэтому
РЯг+1 <т} = р{тах(0, Xi-Тт Х1 + Х2-Т2, • • •"
..., xi+ ••• +%n-\-tn-u Xi+ + Xn - + T)o) < (56)
Если мы в (56) устремим п к оо, то получим (53) независимо от
распределения величины т|0. Доказательство закончено.
(ii) Рассмотрим предыдущий пример, но теперь пусть требования поступают
на обслуживание в интервале времени (0, оо) по закону Пуассона с
интенсивностью X партиями случайного объема. Предположим, что размеры
партий являются взаимно независимыми и одинаково распределенными
случайными величинами, не зависящими от моментов поступления. Обозначим
через pj, j- 1, 2, ..., вероятность того, что партия состоит из j
требований, и положим
оо
p(z)=2p/z'. (57)
/=i
Если через %{и) обозначить сумму времен обслуживания требований,
поступающих в интервале (0, и], то {%(и), 0<"<оо) будет стохастическим
процессом со стационарными независимыми приращениями. Это обобщенный
пуассоновский процесс. При Re (s)^0
Е {е-*х<">} = е-"(r)<*>, (58)
132
Гл. 5. Теория очередей
где
Ф(а) = Л[1-р (*(*))]•
(59)
Кроме того,
оо
р = Ка 2 jP]
(60)
и
оо
оо
а2 = Асг2 2 IPs + Яа2 2 f Pi-
rn
Зная распределение для %{и), 0^и<со, можно с помощью теорем этого
параграфа найти распределения и асимптотические распределения величин
т\{t), a{t), р(<), 0Г (г = 0, 1, 2, ...)•
Рассмотрим процесс образования очереди W' = {т] (0); % (и), 0^и<оо},
введенный в § 27. Будем считать, что {/* (и), <Хи<оо}- двойственный
процесс для {/ (и), 0 < и < оо.}, где {% (и), 0 и < оо}- сепарабельный
случайный процесс либо с переставляемыми приращениями, либо со
стационарными независимыми приращениями, а почти все его выборочные
функции являются неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в
нуль при и = 0.
Мы будем искать распределения и асимптотические распределения величин
г)'(4 а'(1), р*(7) для />0 и 0* для r = 0, 1, 2....
Эти случайные величины полностью определяются заданием процесса W или W.
Для процесса W распределения случайных величин тД/), а (/), р(/), 0Г уже
были найдены в этом параграфе. Мы сведем задачу нахождения распределений
величин а'(/), р*(/) и 0* к нахождению распределения величины тД/).
Вероятность Р {р* (t) ^ х} = Р {a* (t) ^ t - х} для 0 ^ х < t вычисляется
в следующей теореме.
Теорема 8. Если {%("), 0 ^ и < оо} - процесс с переставляемыми
приращениями, то
Р (Р* (*) <' х + с | г] (0) = с} = Р {% (х) > t} +
+ f J (-^у) fa (г/) < у+ /- х, х(х)<г + /-х} (62)
Процесс W'
для 0 х < t - с.
Доказательство. В силу (2)
Р(Р*(0<* + с|т|(0) = с} =
= Р(х'(мХ" + х - t для некоторого и е [0, t]}. (63)
§ 29. Флуктуации времени ожидания
133
Тогда из формулы (2) § 18 следует, что P{p*(/)<* + ch(0) = c} =
- P(x(u)>u + t - х для некоторого ие[0, *]} =
= 1 - Р (x'(u) - u<^t - x для 0 < и < х}, (64)
а правую часть можно найти по формуле (1) § 15. Теорема доказана.
Представляет интерес также соотношение
P{p*(*X* + ch(0) = c}= 1 -Р{т](л:Х/-л;|т](0) = 0}, (65)
вытекающее из (15) и (64).
Теорема 9. Если {/("),- 0^ы<оо} - процесс со стационарными независимыми
приращениями, р>1 и 0<а2<оо, то независимо от распределения величины
т)(0)
йр1тщ?<*|-ф"- (66)
Доказательство. Имеем
Р*(0 = Т1(0) + х' (0-л* (а (67)
где т)' (/) определяется соотношением (1), в котором надо заменить Х(и)
на х* (и). Из формулы (2) § 18 получаем, что
Р fc* (0 <*} = Pfo (*)>/} (68)
для всех ^^Оих^О. Теперь легко доказать (используя (30)), что
<69)
Так как lim%(/)// = p по вероятности, то
ПтхЖ = ± {Щ
t оо 1 Р
по вероятности. Отсюда следует, что если р>1, то lim x\(t)l\/T = 0
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed