Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
положительное число, то Ф (s) = (s), где i|>*(s)- пре-
образование Лапласа - Стильтьеса функции распределения Я* (х)
неотрицательной случайной величины. Тогда в силу (12) § 16
для всех х, где (c) - наибольший неотрицательный вещественный корень
уравнения Ф($) = $. Если р<1, то (c) = 0, а ерли р>1, то (c)>0.
шн pft(o<*}=-rSr;
(25)
функция W {х) (0^х<оо) определяется соотношением
оо
(26)
' 0
(27)
оо
то=1по)2р"/ад,
ft-о
(28)
где Нп(х) есть га-кратная свертка функции Я (х); Яо(х)=1 при х>0 и Яо(х)
= 0 при х<0.
Если р=й=1, то в силу (14) § 16
оо
оо
W(x)=W{0) , _ф'(ю-- J4p {%(*/)< У+ *} (29)
+о
§ 33. Водохранилище конечной ekmctu
153
Замечание. Пусть приток определяется обобщенным пуас-ёоновским процессом
{/("), 0 ^ и < с"}, т. е. число А, = Ф(оо) конечно и положительно. Как и
ранее, обозначим через тД/) содержимое водохранилища емкости т в момент
t-. Если т = оо, т. е. водохранилище имеет бесконечную емкость, то его
содержимое в момент t будем обозначать через т)*(/). Предположим, что
тД0) = т)'(0) = /п. Тогда
оо
J e~wtP {4* (0 ^ x\dt Р{тД/)<хМ/ = ^------------------------------- (30)
j e~wtP {4* (0 ^ т} dt
о
Для Ке(ш)>0. Явный вид функции распределения Р (п* (/) <! х) приведен в §
15 (см. § 32). Обращая формулу (30), получаем Р{т1 (/)<*}•
Докажем (30). Пусть т* (/) - среднее число переходов т -> т - 0 в
интервале (0, /) для процесса {ч'Д), 0<Д<оо), a m(t) - то же для процесса
ОД/), 0<Д<оо). Положим G{t, х) - Р(ч*(и)<т для 0 и < / и г}* (/) ^ х).
Очевидно, что G (/, х) = Р {т} (и) < т для 0=^ы</ и тД/)<;х}. Далее, для
О^х^/п
t
Р {л' (0 ^ х)= J G(t - u, x)dm'(u) (31)
о
И
t
Р (тД/) ^х) = J G (/ - ы, х) dm (ы). (32)
о
Пусть
do
p,*(ay)=J e~wtdm*{t) (33)
о
И
оо
р (да) =* J e~wt dm (t) (34)
о
для Ке(ш)>0.
Возьмем преобразования Лапласа - Стильтьеса от (31) и (32) и найдем их
отношение:
ОО 00
J е-ш*Р{л(0<*}^ = -^-/ е-Ф{л*(0<х}Л (35)
о о
154
Гл. 6. Процессы хранения и создания запасов
для Re (да) > 0 и О Если в (35) х = т, то P{ri(^Xm}=l
и, следовательно,
оо
b = iruk\ *-"Кп,"Кп)л (36)
О
Разделив (35) на (36), получим (30).
(И) Можно получить более общие типы процесса (?(и), 0^и< оо}, если
рассмотреть следующую эквивалентную интерпретацию процесса {т](0. 0<^<
оо}. Пусть процесс {?("), 0^ц<оо} описывает флуктуации уровня
водохранилища, когда он меняется в интервале (-оо, оо). Тогда ti(0) +
?(?) есть уровень водохранилища в момент t. Допустим, что уровень не
может подняться выше т и не может опуститься ниже 0. Иначе говоря,
избыток воды вытекает, а недостаток всегда покрывается за счет другого
источника. Тогда л (0 -Уровень (содержимое) водохранилища в момент t.
Пусть т - положительное вещественное число. Начальное содержимое
водохранилища емкости т определяется случайной величиной тДО),
принимающей значения из отрезка [0, т\. Пусть Ё(и), 0<м<о°}-сепарабельный
стохастический процесс со стационарными независимыми приращениями, почти
все выборочные функции которого не имеют отрицательных скачков и
обращаются в нуль при и = 0. Тогда для Re (s) ^ 0
Е {e-s?<u)} = euV<s) (37)
с надлежащей функцией Ч* (s). Тривиальные случаи Р{?(и)^0} = 1 для всех
и0 и Р{?(и)^0}=1 для всех и^О исключаются из рассмотрения.
Для с>0 положим
0 (с) = inf {? (и) - с и 0 < и < оо} (38)
и 0(с) = оо, если ? {и) > - с для всех и^О.
Из теоремы 1 следует, что
Р{л(0<*1 л(0) = т} =
= Р {?(и)^х для 0 ^ и ^ 0 (т - х) и 0 (т - х) ^ t} (39)
для 0 ^ х ^ т, так как процессы {? (и), 0 ^ и ^ Д и {? (0 - ? (t
- и),
O^u^t} имеют одинаковые конечномерные распределения.
Теорема 5. Пусть {?(и), 0^"<оо} - сепарабельный случайный процесс со
стационарными независимыми приращениями, почти все выборочные функции
которого не имеют отрицательных скачков и обращаются в нуль при и = 0.
Тогда предельное распределение
ДтР{л(*)<*} = -г$Г (40)
§ 34. Задачи
155
существует для О^х^т, не зависит от распределения величины т|(0) и
00
J e~^W{x)dx^^- (41)
для Re (")>(c), где (c) - наибольший неотрицательный вещественный корень
уравнения 'Р (s) = 0, а С - ненулевая константа.
Доказательство. В силу (39)
lim Р {т] (/)< х | т) (0) = m,} = Р {? (и) < х для 0 < и < 0 (т - х)}
(42)
f-"oo
для 0 а правую часть находим из теоремы 5 § 24. Процесс (т)(/), 0 <
оо} - марковский. Легко видеть, что предел
lim Р (т](/) не зависит от распределения величины т|(0). Тео-
?->00
рема доказана.
§ 34. ЗАДАЧИ
1. Рассмотрим водохранилище бесконечной емкости. Обозначим через % (и)
полное количество воды, втекающее в водохранилище в интервале времени (0,
и]. Пусть {% (и), 0 ^ и < оо} - сепарабельный случайный процесс со
стационарными независимыми приращениями и для и ^ О
Е
где р. - положительная константа. Предположим, что отток воды
осуществляется непрерывно с постоянной единичной скоростью, если
водохранилище непусто. Обозначим через т) (t) содержимое водохранилища в
момент t, а через a (t) полное время в интервале (0, t), в течение
которого водохранилище пустует. Найти Р (т) (/) < х | т) (0) = с}, lira Р
