Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
1348.
[85] Takacs L., Delay distributions for one line with Poisson input,
general holding times, and various orders of service, Bell System Tech.
J., 42 (1963), 487-503.
[86] Takacs L., A combinatorial method in the theory of Markov chains, J.
Math. Anal, and Appl., 9 (1964), 153-161.
[87] Takacs L., Occupation time problems in the theory of queues,
Operations Res., 12 (1964), 753-767.
[88] Takacs L., Combinatorial methods in the theory of queues, Rev.
Internat. Statist., 32 (1964), 207-219.
[89] Takacs L., Application of ballot theorems in the theory of queues,
Proceedings of the Symposium on Congestion Theory, Univ. of North
Carolina Press, 1965, pp. 337-398.
[90] Wold H. О. А. (редактор), Bibliography on time series and stochastic
processes, Cambridge, Mass., 1965.
Глава б
ПРОЦЕССЫ ХРАНЕНИЯ И СОЗДАНИЯ ЗАПАСОВ
§ 31. ПРОЦЕССЫ ХРАНЕНИЯ И СОЗДАНИЯ ЗАПАСОВ
Инициатором математических исследований в теории хранилищ, ведущихся с
1950 г., был Моран [21-23]. При проектировании хранилищ или резервуаров
необходимо знание математических законов, управляющих флуктуациями
содержимого хранилища или резервуара. Например, при строительстве
атомного реактора необходимо принять во внимание, что установка нуждается
в громадном количестве воды для охлаждения конденсаторов. Пусть это
количество, которое может доходить до многих миллионов галлонов воды в
час, а также предполагаемый приток воды известны. Тогда задача состоит в
определении емкости резервуара, который смог бы постоянно удовлетворять
этим требованиям с высокой вероятностью.
В дальнейшем мы займемся исследованием законов, которым подчиняются
случайные флуктуации содержимого хранилища при известных стохастических
свойствах входа. Мы рассмотрим различные математические модели,
описывающие резервуары как конечной, так и бесконечной емкости. Мы будем
говорить о водохранилищах, но такие же результаты справедливы и для общих
процессов создания запасов. При этом содержимое хранилища соответствует
объему запасов. Рассматриваемые ниже случаи, где содержимое является
непрерывной величиной, соответствуют, например, случаям хранения воды
(резервуары, водохранилища), других жидкостей или газа. Будут также
рассмотрены случаи, где содержимое является дискретной величиной;
например, число единиц некоторого товара на складе.
§ 32. ФЛУКТУАЦИИ СОДЕРЖИМОГО ВОДОХРАНИЛИЩА БЕСКОНЕЧНОЙ ЕМКОСТИ
Рассмотрим следующую математическую модель бесконечных водохранилищ. В
интервале времени (0, оо) вода втекает в водохранилище (резервуар). Пусть
%{и) - полное количество воды, втекающее в водохранилище в интервале
времени (0, и]. Обозначим через 6(ы) полный спрос на воду в интервале
времени (0, и]. Спрос удовлетворяется, если в резервуаре достаточное
количество воды; если же воды в резервуаре недостаточно, то разница
покрывается за счет других источников. Положим ?(ы) = %(ы) - 6(ы). Если
т) (0) - начальное содержимое резервуара, то содержимое в момент t равно
т) (t) = sup {n (0) + ? (/) и ? (/) - ? (и) для 0 < и < /}. (1)
142
Гл. 6. Процессы хранения и создания запасов
Это мюжно проверить так. Если в интервале (0, t] не требуется
дополнительной воды') для удовлетворения потребителя, то л(0 = = л(0) +
?(0> и формула (1) верна. Пусть в интервале (0, /] требуются
дополнительные источники воды, причем и - последний момент времени, когда
они используются. Иначе говоря, и = = sup{n: т](н) = 0 и Тогда л (/) = ?
(t) - ? (и), и фор-
мула (1) также верна. Общее количество дополнительной воды, необходимой в
интервале [0, /], равно
a(0 = sup{0H - т|(0) - ?(н) для (2)
Очевидно, что
г, (/) = Л (0)-К (/) + <*(/). (3)
Определим 0О как момент времени в интервале (0, оо), когда дополнительная
вода требуется впервые, т. е.
0О = inf {и: л (0) + ? (и) и 0 ^ и ^ оо} (4)
и 0о=оо, если л (0) + ?(")> 0 Для всех и^0.
Во многих приложениях функция спроса 6 (и) линейно зависит от и, и при
соответствующей нормировке ее можно задать в виде б {и) -и при 0^ц<оо.
Если % (и), 0 ^ и < оо, - неубывающая ступенчатая функция, для которой
%(0) = 0, а 6(н) = и при 0^н<оо, то а(/) есть полное время в интервале
[0, /], в течение которого резервуар пуст, а 0О -момент времени, когда
резервуар впервые опустел.
Пусть либо приток воды {%("), 0^н<оо}, либо спрос {6(h), 0^н<оо}, либо
они оба являются случайными процессами, которые мы будем предполагать
сепарабельными. Тогда л(0(0^/<°°), a (if) (0^/<оо) и 0О будут случайными
величинами. Наша цель- найти распределение величины 0О и стохастические
законы, управляющие процессами (лМ. и (а(/), 0^/<оо}.
Заметим, что всегда выполняются следующие соотношения. Если с^0 и 0<x^t,
то
Р {а (/) > х | л (0) = с} = Р {0О < /1Л (0) = с + л:}. (5)
Если с ^ 0 и / > 0, то
Р{а(/) = О|л(О)==с} = Р{0о>/|л(О) = с}. (6)
Эти равенства немедленно следуют из (2) и (4).
Замечание. В важном частном случае, когда б(и) = и для всех н>0, функции
л(0, а(0' и 6о зависят от притока {%{и), 0^и<оо} точно так же, как
