Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
Все эти случайные величины полностью определяются заданием
т](0) и {х(и), 0<и<оо}.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что случайная величина тДО) и
случайный процесс {/("), 0 ^ и< оо} независимы. Случайный процесс {/("),
0^"<оо} будет иметь либо переставляемые, либо стационарные независимые
приращения. Почти все его выборочные функции будут неубывающими
ступенчатыми функциями, обращающимися в нуль при и = 0.
Двойственные процессы
Удобно рассматривать вместе с процессами Q и W тесно связанные с ними
процессы Q* и W".
Процесс Q*. Рассмотрим определенный выше процесс образования очереди Q =
{?0; Nr, г = 0, 1, 2, .. .}. Предположим, что числа требований,
поступающих в течение 1-го, 2-го, ..., г-го ... периодов обслуживания,
равны соответственно v', v*, ..., v*, ..., где |- двойственная
последовательность для {vr}, определенная в § 9. Положим N1 = 0 и У* = v*
+ ... + v* для г = 1, 2, .... Тогда процесс образования очереди
Q* = {?0; К, r = o, 1, 2, ...}
называется двойственным процессом для Q = {?0; Nr, г = 0, 1,2, . . .}.
Обратно, Q есть двойственный процесс для Q*. Длина очереди
непосредственно перед моментом времени и = 0 в двойственном процессе Q'
равна ?0. Для двойственного процесса используются те же обозначения, что
и для Q, но с добавлением звездочки. Таким образом, для процесса Q*
обозначения ?*, р*. а', |3'
имеют тот же смысл, что и р", а", р" для процесса Q.
Процесс W\ Рассмотрим определенный выше процесс образования очереди Ц7' =
{'п(0); %(и), 0=?Сц<оо}. Предположим, что полное время обслуживания всех
требований, поступающих в интервале времени [0, ц], равно X* ("),
где{х*(ц), 0^"<оо} - определенный в § 18 двойственный процесс для {/("),
0^ц<оо}, Процесс образования очереди
1F = {ц (0); х*("), 0<ц<оо}
называется двойственным процессом для W = {ц (0); х (и), 0 ^ и < оо}.
Обратно, W - двойственный процесс для IF'. В двойственном про-
§ 27. Очереди к одному обслуживающему прибору
107
цессе W' время занятости обслуживающего прибора непосредственно перед
моментом и = 0 равно г| (0). Для двойственного процесса W* используются
те же обозначения, что и для W, но с добавлением звездочки. Таким
образом, для W* обозначения г)*(0> 9*> a (t), Р'(0 имеют тот же смысл,
что и г|(/), 0r, a (t),fi(t) для процесса W.
Некоторые результаты, полученные для процессов Q и W, можно перенести на
процессы Q* и W" и обратно.
Обратные процессы
Рассмотрим процессы Q и W в следующей ситуации. В интервале времени (0,
оо) требования поступают в очередь в моменты xr, r= 1, 2, ...; т0 = 0.
Пусть в момент и = 0 требование не поступает. Пусть Хг> 7-1,2.......-
длительность r-го обслуживания.
Для процесса Q начальное состояние равно (начальная длина очереди к
моменту и = 0). Для процесса W начальное состояние равно г| (0)
(начальное время занятости прибора в момент и = 0).
Зададим теперь процессы Q' и W'. Пусть в интервале времени (0, оо)
требования поступают на обслуживание в моменты т', г = = 1,2, ..., причем
т' = 0. Для процесса Q' в момент т' = 0 требование не поступает, а для
процесса W' в момент т' = 0 поступает одно требование. Пусть %' г- 1,2,
...,-длительность г-го
г f
обслуживания. Для процесса Q начальное состояние равно ?0 (начальная
длина очереди непосредственно перед моментом и = 0). Для процесса W'
начальное состояние равно тДО) (начальное время занятости прибора
непосредственно перед и = 0). Время обслуживания требования, поступившего
в момент и = 0, в г| (0) не включается.
Если
= + х2+ ... +ХГ для г = 1, 2, ...
и
К,'г = т:г-гг-1 Для r= 1, 2,
то Q' называется обратным процессом для Q, a W'- обратным процессом для
W. Иначе говоря, если для данного процесса поменять местами времена
поступления требований и времена обслуживания, оставляя начальное
состояние неизменным, то получится обратный процесс.
Для данного процесса образования очереди обратные процессы Q' и W' тесно
связаны с двойственными процессами Q* и W'. Многие вероятности для
обратных процессов совпадают с соответствующими вероятностями для
двойственных процессов.
108
Гл. 5. Теория очередей
§ 28. ФЛУКТУАЦИИ ДЛИНЫ ОЧЕРЕДИ
Рассмотрим процесс образования очереди Q = {?0; Nr,r = 0,1,2,.. введенный
в § 27. Предполагается, что Nr = v, + ... + vr, г = = 1, 2, ..., где {vr}
-случайные величины, принимающие неотрицательные целые значения. Нас
будут интересовать распределения случайных величин ?", а", и р" для
любого ". Эти случайные величины полностью определяются процессом Q.
Легко проверить, что справедливы следующие утверждения.
Длина очереди непосредственно после окончания "-го требования равна
= max {Nn - Nr - n + r+ 1 для г = 0, 1, ..., " - 1 и ?0 + Nn - "}.
(1)
Действительно,
= [?"-!- l]+ + v", "=1,2,..., (2)
а потому формула (1) верна, ибо если среди чисел 0, 1, ..., "-1 найдется
такое наибольшее г, что = 0, то ?" = vr+1 + ... + v"- - " + г + 1, а если
такого г нет, то ?" = ?0 - v, + ... + v" - ".
Если для любого " известно распределение случайной величины ?", то
