Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
В этом разделе мы получим точное решение стационарной задачи о взаимодействии сильного поля с двухуровневой средой. Для того чтобы результат взаимного воздействия двух компонент поля двух бегущих волн, образующих стоячую, проявился особенно наглядно, запишем поле в виде
Е(г, t) = [E_sin(fcz + Qt) + ?+sin(Az - Qt)]. (2.171)
В различных частных случаях (2.171) может описывать не только стоячую или бегущую волну, но и более общий случай наложения нескольких волн. Например, при E Ф Е+ мы можем рассматривать (2.171) как стоячую волну с амплитудой Е_ и бегущую с амплитудой (Е — Е_). Другая возможность представления (2.171) — это сумма стоячей волны и бегущей, но уже в другом направлении, (Е_ — E ). Поле в виде (2.171) иногда называют квазистоячей волной.
І 124
ГЛАВА 1.
Используя, так же, как и в разд. 2.5, ПВВ, получаем из (2.216) уравнения
(I + ^b2 + У2Р22 = *2 + 2httE+eikZ - Е-е~,к1)Ь*
-(E_eikz - E+e~ikz)p2x], (2.172а)
(I + uTz)P» + = Xl - 2httE+eikZ - E-e~ikZy^
~{E_eikz - E+e~ikz)?2l], (2.1726)
{ji + Vlt)p21 +(У21 + 'a^m
= - ?(E+e<kz - E_e-*z){p22 - pn). (2.172b)
Рассмотрим стационарный случай 3/31 = 0 и используем разложение в ряд Фурье
Pii = HPMeiykz, (2.173а)
V
Pn - Pu = Iy{v)ehkz = Е[р2(") - (2.1736)
V V
Pn = LrHeiykz, P12 = Zr*(-v)e"kz = р*2х, (2.174)
V V
где в записи, последнего члена мы изменили знак немого индекса суммирования v. Как мы уже показали в разд. 2.3 и 2.4, в суммы (2.173) входят только четные члены v = 2к, а в разложение (2.174) — только нечетные v = 2к + 1. Подставляя выражения (2.173) и (2.174) в уравнения (2.172) и предполагая, что вся зависимость от г.содержится лишь в экспонентах, находим
d{v) = NSv0 + ^Dx{v){E+[r*{-v + 1) + r(p + 1)]
-E_[r*(-v — 1) + r(i» — 1)]}, (2.175)
r(p)= -±D2(v)[E+d{v-\)-E_d{v+\)). (2.176) ВОЗДЕЙСТВИЕ СИЛЬНОГО ПОЛЯ НА ВЕЩЕСТВО
125
Здесь мы определили комплексные лоренцевские функции
D1O) = D2O) =
1
1
1
Y2 + ivku Yi + ivkv 1
(2.177а) (2.1776)
Yi2 + /(Д + vkv) '
Из уравнений (2.175) и (2.176) можно получить соотношение, содержащее в качестве неизвестных лишь d(v), фурье-компоненты разности заселенностей. Используя условие действительности диагональных элементов матрицы плотности
</(-,) = (</(,))*, (2.178)
получаем искомое уравнение
і + ^d,0)[?2((D20 + D + *>;(-» + і)) L и~
+ ?2((D20~ l) + D?(-v- 1))]Ц,)
= N&,0 ?t?. { D,0)[d20 + 1) + D${-,- \)]d(r + 2)
1 n
+ D,0)[D2(, - 1) + D*(-, + 1)]d(i> - 2)}. (2.179)
как и ожидалось, в этом уравнении связаны между собой лишь четные компоненты d(v).
Для того чтобы прояснить физический смысл уравнения (2.179), выпишем его в явном виде для , = 0. Это единственный случай, когда (2.179) имеет неоднородный член. Используя определение ОДс) и D2(i>), получаем
1 +
Yi + Y2 2Yi2
[e\L{A + kv) + ElL(A - Ь)1 Ы(0) Ь'УіУг 1
N +
H1EiE Wy1 + Y2
X
Y12 + ikv
(Y12 + ikv У + Д2
-d( 2) +
A2 /I 2Y1Y2
Y12 - ikv (Y12 - ikv)2 + Д2
-d(~2)
(2.180)
Уже теперь мы можем исследовать некоторые свойства средней по координате разности заселенностей d{0).
с 126
ГЛАВА 1.
1. Пусть одна из компонент поля (2.171) равна нулю, например Е_ = 0. Тогда нет и связи между различными компонентами d(v), и из (2.180) имеем
+ Clin,
a y1y2 \ 2 y12 )
Это точно тот результат, который мы получили ранее в (2.102) для случая одной бегущей волны. Если?+ = 0, аналогично получаем выражение J(O) для случая волны, распространяющейся в другом направлении, когда резонанс достигается при kv = + Д.
2. Если обе амплитуды поля не равны нулю, то, во-первых, каждая из них приводит к насыщению. При этом в (2.180) входят члены, пропорциональные E2t и лоренцианы с аргументами (Д ± kv), что описывает независимое воздействие на среду полей. Но, во-вторых, есть и перекрестные члены Е+Е_, которые описывают интерференционные эффекты и связывают между собой фурье-компоненты больших порядков. Если этой связью пренебречь, т. е. положить d(±2) = 0, то непосредственно получаем результат первого приближения для, квазистоячей волны
N
d( 0) =
1 + + kv) + e2l^ ~ M
я YiY? \ 'із /
(2.182)
В этом приближении волны Е+ иЕ_ воздействуют на среду независимо друг от друга. Для истинной стоячей волны, когда Е+ = E = Е/2, получаем известный уже результат (2.134) из разд. 2.5.
Решение полной системы разностных уравнений (2.179) можно получить в виде цепной дроби. Перепишем (2.179) в виде
МФп = 8п0 + В+(п)хп +, + В.(п)хй_1 , (2.183)
где
d(2n)
(2.184)
а функции А(п), В±(п) определяются из (2.179) очевидным образом. Обобщая метод, изложенный в разд. 2.3, можно выписать ВОЗДЕЙСТВИЕ СИЛЬНОГО ПОЛЯ НА ВЕЩЕСТВО
127
решение
X - M
N
А(0)-В+(0)В_(0)
A2(O) +
A(O)_
В + (0)В_ (O)A2(I)
A2(I) +
В+(\)В_(\)А2(2) A2(I)+ •¦•
Л(0)
A2(O) +
В+(0)В_(0)А2(-\)
А2(-\) +
В+(-\)В_(-\)А2(-2) А2(-2)+ •¦•
(2.185)
Различие между этим точным результатом и приближением (2.182) состоит в том, что (2.185) имеет осциллирующую структуру за счет интерференции двух бегущих волн. В первом приближении взаимодействие волн приводит к сдвигу уровней светом при Д > -у12 и штарковскому расщеплению при Д = 0.
