Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
Резонатор может поддерживать колебания лишь внутри ограниченного телесного угла АО. Пусть ширина полосы усиления атомной системы есть Au. Учтем возможность двух поляризаций света. Тогда элемент объема в фазовом пространстве дается выражением 2Vd3k/(2ir)3. Определим долю а телесного угла, в котором распространяется лазерное излучение:
АО = о4тг. (3.19)
Число фотонных состояний в пределах полосы усиления должно быть не меньше единицы, и для оценки можно записать
IVd3Ic к2 к2
--7 = F-Vjw do = V-^-Awa = 1, (3.20)
(2тт) 4чт с Tr2C
где мы заменили dos и dO на Aw и АО соответственно. Из условия (3.20) можно определить долю а тех процессов, которые ведут к появлению фотонов лазерного излучения. В единицу времени появляется OjV0T таких фотонов. Так как излученная энергия удерживается в резонаторе примерно время т, то в стационарных условиях должно быть выполнено соотношение
aN0Tr = 1. (3.21)
Если oN0T больше, чем т~', то насыщение приводит к уменьшению числа усиливающих атомов N0 до тех пор, пока не начнет выполняться (3.21). Условие (3.21) — простейший пример соотношения (3.15). Позднее мы рассмотрим другие частные случаи, приводящие к такому же условию.
Используя (3.20) и равенство Г = г~т', запишем соотношение (3.21) в виде условия на пороговую плотность частиц ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛАЗЕРА
139
Именно такое условие было первоначально получено Шавловым и Таунсом в 1958 г. [199].
пример. Для Не — Ые-лазера X = 0,633 мкм и (ow/2x) = = (ки/2ж) = IO9 Гц. Из (3.22) и (3.10) получаем для пороговой плотности атомов
у = 5 X IO13 м-з.
В дальнейшем нам потребуется соотношение (3.22), в котором в явном виде использовано выражение для т = Г-1 (1.113)
No ( 3 \( Ae0"
¦п I \ Cfi2T
(3.23)
Определим добротность резонатора отношением времени распада к периоду колебаний
тй тек
Q = 2^ = 27 • (3-24>
При этом выражение (3.23) можно переписать в виде
N0 3 he0ku
TT^- (3.25)
На пороге генерации излучаемая лазерная мощность есть
2 L
TC
pBbbX = 0pBX = TTpBX- (3.26)
Так как каждый акт излучения высвобождает энергию Aw и имеет длительность тат = Г-1, получаем соотношение
N0hu N0Imhc 877 MwK Рвх = — = -J7- = — > 0.21)
ат ат л 7
где учтено (3.22). Выражения (3.26) и (3.27) используются для оценки мощности лазера.
В этом разделе мы получили некоторые оценки из чисто качественных соображений. Ниже мы рассмотрим и количественное описание некоторых эффектов. Начнем мы, однако, не с подробной теории генерации, а с изучения лазерных усилителей. 140
ГЛАВА 1.
3.2. УСИЛИТЕЛЬ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ
Рассмотрим эволюцию бегущей волны
E(z,t) = Ecos{kz - Qt + ф). (3.28)
пересекающей среду оптически активных двухуровневых атомов. Если первоначально они находились в нижнем состоянии, то среда является поглотителем, а нелинейные свойства среды под действием мощного поля приводят к насыщению поглощения. В случае первоначальной инверсии заселенностей излучение в среде усиливается, а не поглощается, и нелинейность проявляется в насыщении усиления. Математический формализм, описывающий состояние ансамбля атомов, был рассмотрен в разд. 2.4. Поляризацию, возникающую при воздействии поля (3.28), можно записать в виде
Piz, t) = Ccosikz - Qt + <р) + Ssin(kz - Qt + <р)
= ^EXei(kz-Q'+,f) + к.с. (3.29)
В этом разделе мы получим соотношение между амплитудами поля E и компонентами поляризации ChS. Начнем с уравнений Максвелла (разд. 1.2) и перепишем их в виде
д д
YzEiz, t)= -ц0—Hiz, t), (3.30)
- j-zHiz,t) = j-t[4Eiz,t) + Piz,t)\. (3.31) Исключая из уравнений магнитное поле Н, получаем
eO Ot
где, как и в уравнении (1.30), мы добавили феноменологический член, учитывающий потери, (Q/Q)(dE/dt) = (dE/dt)/r.
В дальнейшем будем предполагать, что Е, <р, С и S — медленные функции переменных znt. Уравнение для поляризации ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛАЗЕРА
141
P(z, 0 можно получить, полностью пренебрегая изменением С и S. В результате
?-2P(z,t)= -n2P(z,t). (3.33)
Для производных по времени от ?(z, 0 запишем
?
-jj-E(z, t) = Ecos(kz - її/ + <p) - фЕs\n(kz - її/ + qp)
+ n?sin(Arz - її/+ ф), (3.34)
і92
— ?(z, /) = 2QEs\n(kz - її/ + ф)
dt2
+ 2їїф?сов(kz - її/ + ф) - її2?соб(Arz - її/ + ф),
(3.35)
При этом мы пренебрегли членами, содержащими Ё, ф и Ё ¦ ф. Используя аналогичное приближение для нахождения произ -водных по координате, получаем
Л V ,,дЕ . dz2
2E(z, t) = -2kj^sm(kz - її/ + ф)
-2k^Ecos(kz - її/ + ф) - k2Ecos(kz - її/ + ф). dz
(3.36)
В уравнении (3.32) член с первой производной по времени содержит малый сомножитель Q-1. Поэтому, подставляя (3.34) в (3.32), мы пренебрежем также слагаемыми Q~]dE/dt и Q~ld<p/dt. Уравнение (3.32) справедливо в любой момент времени, поэтому, подставив в пего поляризацию (3.29) и поле (3.28), можно получить два уравнения. В одно из них входят члены, пропорциональные синусам, а в другое — косинусам. Так получаем уравнения
JL A JL
dt +С dz + 2 Q
е= її5 = її>г?> (3 37а)
2 «о 2в0
2ЇЇф? + 2кс2^Е + (кс + 0)(Лс - її)? = —С. (3-376)
