Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
условию (8).
3. Положим теперь
и = U + Ui, v= V + и,, w = W + w,, (9)
где И|, и,, Wj - уже известные функции, определенные в предыдущем
пункте. Подставив эти выражения и, и и и<в уравнения (1) и
условие
несжимаемости жидкости
ди ди dw
-+-+- = °, (10)
дх ду dz
получим следующие уравнения для определения функции U, VhW: д W dV
д U dV д V
- "г о,, - =о2, - - - = о3, (11)
ду дг дг дх дх ду
дU dV д W
Т¦ + -+-+ " = °, (12)
дх ду dz
где
dt/i dn> Эи',
Я =---- +- + -(13)
дх ду дг
Уравнения (11) имеют тот же вид, что и (1), но здесь функции а,, а2, а3
удовлетворяют условию (7).
Положим
Э а3 Э а2
4тг5, f-dr /-dr,
ду г dz г
д at д а3
4 irS2= - f-dT-- f - dr, (14)
dz г дх г
д а2 д а,
4nS3 = -/- dr-----/ - dr
дх г ду г
И дР дР дР
U = SX+ - , K = S2+ -, W = S3+-. (15)
дх ду дг
Легко убедиться, что функции (15) удовлетворяют уравнениям (11)
при всяком Р. Последнее определится, если выражения (15) подставим
в (12), причем получим
АР + Н = 0, (16)
334
4. Так как движение сосуда, содержащего жидкость и ограниченного
поверхностью (5), задано, то скорости жидкости м, v и w, кроме уравнений
(1), должны удовлетворять еще в каждый момент времени t условию
м cosa + иcos0 + wcos 7 =/) (х, у, г,/) на поверхности (5), (18)
где fi есть известная функция, представляющая нормальную составляющую
скорости точки х, у, z поверхности (5). Это равенство при помощи (9) и
(15) приводится к виду
ЪР ЪР ЪР ЪР1 ,
- cosa + -cos Р + - cos 7 = - =/, (19)
Эх Эу Ъг Ъп
где положено
f =fi -(Si +ul)cosa-(S2 + 0!)cosP-(53 + W!)cos7. (20)
Из сказанного заключаем, что скорости и, v, w точек жидкой массы будут
известны, если будет найдена функция Р, удовлетворяющая условиям
ЛР + Н-0 внутри (5),
ЪР,- ,
- =/ на поверхности (5)
Эл
Доказательство теоремы п. 2 сводится, таким образом, к решению задачи,
представляющей простое видоизменение задачи Неймана и носящей название
преобразованной задачи Неймана (probleme de Neumann transforme).
5. С этой задачей приходится встречаться не только в рассматриваемом
вопросе гидродинамики, но и во многих других отделах математической
физики, как, например, в аналитической теории тепла, в теории упругости и
др. Такова, например, задача об установившейся температуре в твердом
однородном теле, ограниченном какой-либо поверхностью (5),
лучеиспускательная способность которой равна нулю. Общий случай, когда
лучеиспускательная способность его поверхности - не нуль, также требует
решения ряда рассматриваемых задач, как будет показано ниже. Общая задача
об охлаждении твердого тела также существенным образом зависит от решения
задачи Неймана.
В рассматриваемой нами задаче гидродинамики функции и,, и,, и", всегда
можно выбрать так, что они будут иметь не только первые, но и вторые
непрерывные производные по координатам внутри поверхности Эм, dvi dwi
(S), причемН =- +-- + будет иметь первые производные внутри
Эх 3v Ъг
(5). Мы рассмотрим более общий случай, когда в уравнении (21) функция Н
непрерывна и удовлетворяет условию (6) п. 4 гл. 1 (условию Гельдера).
(21)
(22)
Умножаем уравнение (21) на ёт и интегрируем результат по всему объему,
ограниченному поверхностью (S). Получаем, в силу (22),
(r)Л
/ Нёт + / ДА/т = / Нёт + /- ds = fHdT + ff'ds = 0. (23)
Ъп
Таким образом, задача вообще возможна лишь тогда, когда заданные функции
Н и /\ каковы бы они ни были, удовлетворяют условию (23). Заметим
сначала, что в рассматриваемом нами вопросе гидродинамики это условие
соблюдается.
В этом частном случае
/Hdr = / (mi cos а + Ui cos 0 + Wj cos y) ds и, в силу (20),
S f' ds = ff i ds - J [("Si + Hi) cos a + (S2 + Ui) cos 0 + (<S3 + Wj)
cos у j<fa Следовательно,
/ Hdr + f f' ds = f fi ds - / [ Si cos a + S2 cos 0 + S3 cos у J ds.
(24)
H0/1 = (u0 +qz -ry) cos a + (u0 + яс - pz) cos 0 + (w0 + py - qx) cos у =
= U0 cos a + V0 cos 0 + W0 cos у, где м0, v0,w0,p, q и г суть данные
функции г, не зависящие от координат *). Применяя к первому интегралу
правой части равенства (24) известную формулу преобразования
поверхностного интеграла в объемный , получим
(ЪЩ Ъ К0 ЭН'оХ
Точно так же находим, при помощи (14),
/ bS 1 bS 2 dS3 \
f ( St cos a + S2 cos 0 + <S3 cos 7) ds = / {- +---+-----) dr =
0.
\ дх dy dz J
Следовательно, на основании (24) условие (23) действительно выполняется.
Предлагая теперь, что зто условие выполнено, каковы бы ни были заданные
функции Н и/', положим
, 1 Н
P=V + P', Р'= - f-dT. (25)
4л г
Лесть потенциал объемных масс, имеющий, как указано в гл. I , непрерывные
частные производные первого порядка во всем пространстве, а следо-
дР)
вательно, и правильную нормальную производную на поверхности (S).
дп
* ) /, есть нормальная составляющая скорости точки х, у, z твердого
сосуда, содержащего жидкость, поэтому и", и0, w0cyn> проекции на оси
координат скорости начала координатной системы, а р, q и г - проекции
вращательной скорости сосуда около этой точки.
336
С другой стороны, на основании теоремы Гельдера, доказанной в п. 4 гл. 1
