Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
подчиняется единственному условию непрерывности, то равенство
350
ъи,
может, вообще говоря, потерять смысл, ибо - может обращаться в бес-
Ъп
конечность. Во всяком случае, для того чтобы иметь право воспользоваться
преобразованием Грина, которое приводит к равенству (64), необходимы
дополнительные, довольно сложные исследования о свойствах функ-
(ъи\ (ъс\
ций I I или I -1 , когда точка Р. достаточно близкая к по-
\ Эн / я \ Ъп /р
верхности (5) стремится к некоторой точке р, лежащей на этой поверхности
*).
20. Результаты, полученные нами в предыдущих главах, позволяют
устранить эти затруднения и доказать справедливость формулы (65) для
какой угодно непрерывной функции /, не прибегая к равенству Грина (64).
На основании теоремы VIII предыдущей главы функция Г может быть
представлена в виде
1 , ds
Г = - - Л - Р - L0 + рг + р4 + ... + р" + ... ) -, (66)
2тг г
где под L.о нужно теперь подразумевать внутреннюю нормальную произ-
1 1 cos *р
водную от потенциала двойного слоя J' - ds, а под р* -
8тг г0 г]
функции, определяемые последовательно при помощи уравнений
I cos ф I cos ф
- SI'o '-:- ds, Рк - " /Р* - I ;
!тг г? 2 тг г)
Pi =- - ft'o' 7-ds. Рк = " fPk- I ---------------------------------------
----- Ж- (67)
" 2 7 чт гг
В последних трех интегралах под г0 подразумевается расстояние точки jc,
у, г от точек ?'\ т?", ?" поверхности (5), под г, - расстояние точки
?',т?\ ?' этой поверхности от тех же точек по которым со-
вершается интегрирование, а в интеграле (66) под г подразумевается
расстояние точки от точек ?',1?',?' и интегрирование совершается по этим
последним переменным.
Очевидно. L0 и рк суть функции от jc, у, z и т?', f', a cos ф/r2 и
cosip/r2 от переменных jc, у, г не зависят (суть функции ?', т?\ f' и ?",
т?", f"). Производные от Рк по jc, у, г, очевидно, связаны между собой
соотношениями того же вида, что и сами функции Рк, а именно
Ърк I Эр*_, cosф
-- = -- J -:-------------;- ds и т.д. для у иг, (68)
ojc 2тт 3jc г\
Ъ2рк I Э2р*_, со*ф ибо функция cos ф/г2, как сказано, не зависит от jc.
у. z.
--------------------------------------------------- / ас \
*) Такие исследования относительно функции (---------- I были приведены в
1897 г.
V дп /Я
известным польским ученым ЗарембоЩБ. Z а г с m Ь а) в его MCMyape"Sur le
ргоЫсшс de Dirichlet" (Annalcs de 1'Ecole Normale, 3 ser" Т. XIV, p. 251)
351
Э2L0 d2L0 d2L0
Легко видеть далее, ч^о функция , - , -г- удовлетворяют
дх2 ду2 Ъг2
тому же условию, что и L&, т.е.
Ъ2 L0
J -- ds - О И Т.Д. ДЛЯ I' И 2 .
Ъх2
Вследствие этого мы можем к ряду
b2L0 Ъ2 р2 Э 2ргк
~ Ъх2 Ъх2 Ъх2
и таким же рядам для у и z применить дословно те самые рассуждения, при
помощи которых в гл. II доказывалась равномерная сходимость ряда Pi + Рг
+ Рз + - + Рк + ...Таким путем докажем, что рассматриваемые ряды сходятся
абсолютно и равномерно во всех точках г/, J' поверхности (S).
На основании этого получаем равенство
Ъ2 Г J_ / &Р_ d2L0 д2р2 д2р1к \ ds
Ъх2 2я "Д дх2 Ъх2 дх2 дх2
и такие же равенства для у иг. Отсюда на основании известных свойств
потенциала простого слоя и равенств (68) выводим
\ ds
-JT
а/эту ат. эу, эу, эу"
Эн \ дх2 )I дх2 дх2 дх2 дх2
+ -д-Г- -+ +
и такие же равенства для у и г.
ЭГ,
С другой стороны, из (66) следует, что ----------- = L0 + р, -
р2 + ...
дп
... + (-1 )* +1 рк + ... Так как ряды, получаемые почленным
дифференцированием по х, у, г этого ряда, в силу только что сказанного
сходятся равномерно, то
Э2
Эх
/эг,\ д2L0 | Э2р, Э2р2 | ( к+1 Ъ2рк |
\ Эн / Эх2 Эх2 Эх2 Эх2
Такие же равенства имеют место и для у, и для г. Следовательно,
Л (1И
дх2 \ дп
При помощи этих соотношений убеждаемся, что функция U, определяемая
равенством
д G, ЭГ, 1 cos
-ds =-I f-- ds +-------------//--
Эн Эн 4 я г
U = -ff-TJ-ds =-f ds + -ff~~- ds, (69)
есть гармоническая функция внутри (S) от переменных x, у, г.
352
Совершенно так же доказывается, что функция
(70)
есть гармоническая функция вне поверхности (S) от тех же переменных
х.у.г.
Равенства (69) и (70) справедливы для любой тонких, у, z, лежащей внутри,
соответственно вне (5), какова бы ни была функция /, непрерывная на
поверхности (S ).
21. Докажем теперь, что гармонические функции U, определяемые
равенствами (69) или (70), обращаются в заданную функцию/на
поверхности^), коль скоро эта функция непрерывна во всех точках этой
поверхности. Приведем простейшее доказательство, предложенное А.М.
Ляпуновым*).
Предположим сначала, что
где . i?o"fo суть координаты какой-либо точки р0 поверхности (S). Чтобы
остановиться на чем-нибудь определенном, рассмотрим равенство (69); все
сказанное будет непосредственно приложимо и к равенству (70).
На основании теоремы I гл. I можем утверждать, что гармоническая внутри
(5) функция U, обращающаяся в функцию / (71) на самой поверхности (5),
положительна во всех точках области (D).
Возьмем на нормали к (5) в точке р0 точку Р0, лежащую внутри (5) на
расстоянии 6 от р0. Для функции /, очевидно, соблюдается неравенство
