Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
(76,) и (77) теоремы VI гл. II, если в них заменить / на
-v0.
Вообще, каждая из функций vk определяется уравнениями (29) до некоторой
произвольной постоянной Ск, которую всегда будем определять условием
причем р{п 1 'суть функции, определяемые последовательно по формулам (76)
теоремы VI гл. II, если в них за исходную функцию вместо / взять
функцию -vk . . |.
Таким путем последовательно определим все функции vk (Jc = 0, 1, 2,...),
удовлетворяющие уравнениям (29) и условиям
8. Так как к поверхности (5) приложим принцип Робена, а функция ,
подчинена условию (34), по теореме III гл. II имеем неравенство
1 ц0
Vo = - / - ds + С0 = Vo + С0,
2л г
(32)
(32.)
с плотностью
(* - I) (*-1) (* - I)
Д* = -и*_, +/>1 +Р 2 + - ••+Рш +
(33)
fvkds = 0 (*-0,1,2,...).
(34)
(34.)
339
которое выводится из (S4) (гл. 11) *), если в нем заменить R0 на
Мк _ i = max I и* _ 11 на поверхности (5)
и значок к на т. При помощи этого неравенства из (33) выводим \рк\<Мк_1
[1 +JV, (t + tj +. .. + т"' + ...)] =
[
1 - т
]
= ~Шк _ j,
(35)
где X есть определенная постоянная, зависящая исключительно от вида
поверхности (5). Равенство (32,) дает затем
где X ' есть постоянная того же свойства, что и X. Это неравенство и
равенство (32) приводят к неравенству
В этом неравенстве под Мк можно подразумевать максимум модуля функции ик
во всей области (Z)), приняв во внимание теорему 1 гл. 1.
Последнее неравенство дает
на основании чего заключаем, что ряд I Uol +Л Iwjl +Л2 (и21 + ... +
Л*|и*| + ...
сходится равномерно во всех точках области (Z)) для всех значений h,
удовлетворяющих условию
Следовательно, ряд (28) сходится абсолютно и равномерно в области (О) при
тех же значениях И.
*) В теореме 111 гл. 11 доказывается справедливость неравенства (54) в
предположении конвексности поверхности S. Доказательство этого
неравенства в рассматриваемом случае содержится в п.18 гл. 11: при этом
предполагается, что постоянная N в неравенстве (60) гл. И может быть
представлена в виде N = я" Л/,, где R" = max |р0 U a/V, не зависит от
функции р". (Прим. ред.)
2п г 2п
(35.)
Следовательно,
(36)
Отсюда
Л/*<Х,Л/*_, (*= 1,2,3,...),
(36.)
Л < 1/Х,.
(37)
340
9.Обозначим через р*к) плотность электрического слоя, находящегося в
равновесии на поверхности (5), подчиненную условию
1 р(|г)
С* = -/------- ds. (38)
2 я г
На основании теорем V и VIII гл. II мы можем определить плотность р
электрического слоя, находящегося в равновесии на рассматриваемой по*
верхности, удовлетворяющую условию fpds = M, где Месть заданная пос-
1 р ... тоянная. Зная функцию р, положим -/-ds =С. Функция рк> может
от-
2 яг
личаться от р только постоянным множителем, положим, q, так что
р<*). = qp. Из равенства (38) получаем
Ск (*) С*
Ч=~С' Р = ~?р =с*р' (39)
т.е.
1 скР Ск =-/- ds.
2я г
На основании этого функцию и* можем представить в виде потенциала
простого слоя
1 д* + скр 1 д*
"к=- S'1-1~ ds =- f- ds, (39,)
2 nr 2 it г
где pk =pk +ckp,ад* выражается рядом (33).
X^
Из (39) и (35,) следует, что | ск | < Мк _ ,. Обозначая через а максимум
| р | на поверхности (5) и приняв во внимание неравенства (35) и (36,),
получаем
g I Л/*_, - Х2 Af*_ Х2Л/0 X, ,
где Х2 есть постоянная, зависящая исключительно от свойств поверхности
(5). Отсюда- заключаем, что ряд
д = д,' + Лд2' +... + А*-1д* + ... (40)
сходится на поверхности (5) абсолютно и равномерно при том же условии
относительно параметра А, что и ряд (28), т.е. пока А < 1 / X,. На
основании этого можем писать для всех значений А, удовлетворяющих только
что указанному условию,
ДС -1
и так как и = и0 +Л (и, +hv2 +... +h vk + ...), то, в силу (39!) и
(41),
и = и0 + А V.
(42)
Так как V есть потенциал простого слоя, то для всякой поверхности
Ляпунова он имеет правильную нормальную производную
Поэтому на основании (42) такую же производную имеет и функция и , а
именно
Я п
, 10. Равенство (42) показывает, что найденная нами функция и
действительно удовлетворяет уравнению (26). Остается только доказать, что
ойа удовлетворяет и условию (27).
Имеем, на основании свойств потенциала простого слоя (гл. I),
Принимая во внимание равномерную сходимость ряда из (40), получаем
//cos ф м! М2
f --- ds =f - cos ф ds + A / - cos ф ds+ ... +
к - 1 Mk + A / - cos ф ds + ...
dV/
- на поверхности (5). Ъп
(42.)
dv0i
ибо, в силу (28,), ----------- =0.
Г
Но, в силу (29),
Эи*,
Ъп 2
или
J_ ^cos ^
~ J 5
2я rJ
ds - vk _ i, ,¦ + Mk ¦
Следовательно,
1 м cos ф - f--ds 2 n r
ЪУ,
и, на основании (43), -- = ц - 5.
Ъп
342
Так как для значений А, удовлетворяющих условию (37), ряды /г и S
сходятся, то можем писать
Э V-
(Voi + Mi')J + й[д2 - (ui/ + Мг)] + ... +A*-l[/u* -
on
I k - 1
- (Wk-I,/ +P*)]+••• = - [vol+hvu + .. , + h vk_ =-u,-
.
Отсюда при помощи (421) выводим Эи,-
-- + Аи/ = 0 на поверхности (5).
дп
Таким образом, доказано, что функция v , выражаемая рядом (28), дает
действительное решение задачи, по крайней мере для значений параметра Л,
