Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
меньших некоторого определенного числа 1 /X t.
11. Мы сделали для простоты предположение, что функция у в уравнении
(26) подчинена условию (30), но легко убедиться, что это ограничение
несущественно.
Допустим, в самом деле, что у есть какая угодно заданная функция
координат. Положим
С
v= и +- , (44)
А
где С есть некоторая постоянная. Задача сведется к определению
функции
и.для которой после подстановки этого выражения v в (26) и
(27) полу-
чим уравнения
Ди + ^ = 0 внутри (D),
Эн,- <45>
+-Аи, + С = 0 на поверхности (5).
дп
Мы имеем здесь частный случай следующей более общей задачи: Найти функцию
v при помощи условий
Дь + = 0 внутри (D),
Эн, (46)
+ А и, + / = 0 на поверхности (S),
дп
где / есть заданная функция координат точек этой Поверхности.
Положив, как и в п.6,
, к
v = v0 +Й1>1 + й v2 + ... + й vk + ...,
получим для определения v0 уравнения Ди0 +^ = 0 внутри (О),
Э ы0/
-- + / = 0 на поверхности (S), дп
а для всех других функций vk (к = 1, 2, 3, . . . ) те же самые уравнения
(29).
343
Определение функций v0 представляет общую задачу п.4, решенную в п.5,
которая возможна, если функция ф и/связаны соотношением (см. равенство
(23) п.5)
SfdT = Jfds.
Дальнейший ход решения задачи будет тот же самый, что и задачи п.6.
Возвращаясь к частному случаю уравнений (45), заключаем, что определение
функции и сделается возможным, если определим постоянную С при помощи
условия CS = / фdr. Выбрав С указанным способом, найдем указанным выше
приемом функцию и,действительно удовлетворяющую уравнениям (45), а затем
при помощи соотношения (44) и искомую функцию v , удовлетворяющую
уравнениям (26) и (27) при произвольно заданной функции^.
12. Нетрудно, наконец, убедиться, что задача п.6 или, общее, п. 11 не
может допускать никакого иного решения, кроме найденного выше.
Допустив существование двух различных функций и, и и2, одновременно
удовлетворяющих уравнениям (46) , положим и = и, - и2. Функция и должна,
очевидно, удовлетворять уравнениям
du.
Дц = 0, - + йи,- = 0. (47)
OR
Положив в формуле (32) гл. 1 l/=V = u, получим, при помощи (47),
откуда следует, что необходимо и = 0, ибо по условию й > 0.
Следовательно, необходимо и 1 = и2.
13. Существование функции v (и притом единственной), удовлетворяющей
уравнениям (26) и (27), доказано лишь для значений й, меньших I / Xi.
Покажем, что задача допускает решение при всяком Данном положительном й.
Рассмотрим предварительно частный случай уравнений (46), когда Ф = 0, но
f есть какая угодно непрерывная функция на поверхности (5). Положим,
подобно предыдущему, и = и + С/й. Для определения и получаем уравнения
Ди=0 внутри (5),
Эи/
+ ЙИ/ + /+ С = 0 на поверхности (S)
дп
. Положив затем И =И0 +ЙИ1 + й2и2 + .. . + й*и* + ...,
находим следующие уравнения для и0:
Д и0 = 0 внутри (S),
Эи0/
--- + / + С = 0 на поверхности (S), дп
(48)
(49)
344
а для всех остальных ик (к = 1, 2, 3,...) те же самые уравнения, что и
для функций и* в п.6. Выбрав пока неопределенную постоянную С,
удовлетворяющую условию / (/+ С) ds = 0, сделаем возможным определение
функции и0, которое сводится к решению задачи Неймана.
Повторив опять дословно рассуждения предыдущих пунктов, докажем, что ряд
(49) представит действительное решение уравнений (48) *) .
14. Воспользуемся теперь следующим приемом Пуанкаре**1).
Обозначим через g максимум модуля / на поверхности (5) и положим W] - v-
g/А. Подставив следующее отсюда выражениец в уравнения
Д и = О внутри (S),
(49.)
Эи,-
+ А и, + / = О на поверхности (5),
дп
получим
Ди-,=0 внутри (S), ^
Э н', j
+ hwu + g +/ = 0 на поверхности (5).
дп
Точно так же,положив = и + g /А, найдем, при помощи (49,),
Д w 2 = 0 внутри (S), ^
dw2i .
+ A w2i - g +/ = 0 на поверхности (S).
дп
На основании теоремы I гл. I максимум и минимум гармонических внутри (S)
функций WjHWj непременно находятся на поверхности (S), причем в точках,
соответствующих максимуму этих функций, нормальные
•I Л
производные 11 и и'2/ должны быть, очевидно, неотрицательными, в дп дп
точках же, соответствующих минимуму этих функций, - неположительными.
Применим равенство (50) к какой-либо точке, где w, достигает макси-
9w, i
мума. Так как при этом >0 Hg +/>0, то необходимо
дп
wu = Vi - g/A<0. (52)
Применив же равенство (51) к точке, где w2 имеет минимум, и заметив,
что при этом -------------- <0 и / - g < 0, заключаем, что
дп
w2i = Vj+g/h > 0.
*) При А < I / Л,.
**) Н. Poincare". Sur les Equations de la Physique muthcmatique. --
Rendiconii del Circolo di Palermo, 1894, p. 99.
345
Неравенства (52) и последнее показывают, что для всех точек поверхности
(5)
I и,-1 < g / А на поверхности (5). (53)
15. Обозначим через А0 какое-либо определенное значение А,меньшее 1
/Х|, и положим А = А0 + 7j. Будем искать функцию и , удовлетворяющую
уравнениям
Av + ip = 0 внутри (5),
+ ( Л0 + V) Щ = 0 на поверхности (5),
Ъщ (54)
дп
в виде ряда, расположенного по целым положительным степеням параметра 7?,
