Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
В. Ст e к л о в. Общие методы и тд.,|Ь. 180.
331
Г Л А В А IV
Некоторые простейшие задачи математической физики, связанные с задачами
Дирихле и Неймана.
Функция Грива и ей подобные. Определение высших и низших пределов
отношения некоторых объемных и поверхностных интегралов
1. К решению задач Дирихле и Неймана приводится решение большинства
задач математической физики, из которых в этой главе мы рассмотрим только
простейшие.
Прежде всего остановимся на самой задаче Неймана, применения которой в
различных областях математической физики весьма многочисленны и важны.
Особенно широкое применение она встречает в гидродинамике, вследствие
чего и называется иногда основной задачей гидродинамики.
Все возможные движения идеальной жидкости (без трения, невязкой)
разделяются на два обширных класса, которым посвящается особое внимание в
трактатах по динамике жидкостей; это так называемые движения с
потенциалом скоростей (невихревые) и движения вихревые.
Отнесем жидкую массу, ограниченную какой-либо поверхностью (S) (или, в
предельном случае, заполняющую все пространство), к какой-либо
прямоугольной системе координат, через и, v, w обозначим проекции на оси
координат скорости какой-либо точки х, v, z жидкой массы и составим
разности
dw ди ди dw ди ди
ду dz ' ' dz дх 2' дх ду 3 ^ ^
Возможны два случая: 1) когда величины со(, со2, со3 равны нулю или 2)
когда они отличны от нуля.
В первом случае выражение
и<1х +vdy + wdz (2)
является полным дифференциалом некоторой функции V (когда может зависеть
не только от координат х, у, z, но и от времени /) и, следовательно, и,
v, w представляются в виДе * )
dV dV dV
"V ""эТ- (3)
Получается особый род движения жидкости, при котором скорости ее точек
являются частными производными по координатам от одной и той же функции
V. Эта функция называется потенциалом скоростей невихревого движения
жидкости. Это движение будет определено, если по условиям задачи нам
удастся найти функцию V. Для несжимаемых жидкостей (не газов) V должно
удовлетворять уравнению Лапласа Д V = 0 во всех точках жидкой массы, на
границах же ее должны выполняться тс или иные условия в зависимости от
рода задачи.
* ) Рассматриваемая область предполагается поверхностно односвяэной
{Прим. ред.)
332
Жидкость может быть заключена внутри твердого замкнутого сосуда щли иметь
свободную поверхность, находящуюся под определенным давлением, в жидкость
может быть погружено твердое тело, находящееся под действием данных сил
или движущееся наперед заданным образом, и тл. В большинстве случаев,
как, например, в задаче о движении жидкости, заполняющей некоторые
полости внутри твердого тела, о движении твердого тела в жидкости и др.,
граничные условия, выраженные аналитически, приводятся к виду
ЪУ,- ЪУе
- или -= / на поверхности (S), (4)
Ъп Ъп
где / есть заданная функция, например, нормальная составляющая скоростей
точек полости, заключающей жидкость, или точек поверхности твердого тела,
погруженного в жидкость, и т.п.
Задача о движении жидкости сводится, как видим, к решению задачи К.
Неймана.
2. Если Ы) (/ = 1, 2, 3) - не нули, то получается так называемое
вихревое движение жидкости, теория которого разработана трудами Коши,
Гельмгольца, В. Томсона (лорда Кельвина) и др. и положена последним в
основу его известной теории вихревого строения атомов.
Вихревое движение обладает многими замечательными свойствами, о которых
нет надобности распространяться в настоящем сочинении. Мы остановимся
только на одном из основных его свойств, Имеющем непосредственное
отношение к задачам наших исследований и выражающемся следующим образом.
Теорема 1. Вихревое движение жидкости, заключенной внутри данного сосуда,
движущегося известным образом, или заполняющей все пространство (так
называемой беспредельной массы жидкости), определяется вполне, если во
всех точках жидкости будут известны величины , со2 и со3, назы-
ваемые слагающими по осям координат вихревой скорости точек жидкости
(или, короче, слагающими вихря по осям координат).
Эта общая теорема впервые доказана мною в мемуаре "Sur la theorie de
tourbillons" * ) в 1908 г., и доказательство приводится в конце концов
также к решению задачи К. Неймана.
Пусть cj|, , ojj суть заданные функции координат. Положим
Эи", 8i>i Эы, Эи", Эц, Эы,
Р1 =Т--"Г~, Pi =~7~ - ~ , Рз ~~ ~Т . (5)
Эу Ъг Ъг Ъх Ъх Ъу
Oi = ы, -р,, о2 = ш2 - Pi, о3 =ы3 - р3. (6)
Определим такие функции ut, и№Ь чтобы во всех точках поверхности (S),
ограничивающей жидкую массу, соблюдалось условие**)
о3 cos а + о3 cos 0 + о3 cos 7 = 0, (7)
*)W. Stekloff. Sur la theoxie des tourbillons. - A finales de Toulouse, 2
ser., 1908,t.X
**) a, 0 иг суть углы нормали к поверхности (5 > с осями координат.
333
которое можно представить в виде Э/ Э/ Э/
о 1 +- а2 + - а3 = 0 на поверхности (S), (8)
дх ду дг
если /(дг, у, г) = 0 есть уравнение этой поверхности. Существует
бесчисленное множество функций их , Ui, и',-, удовлетворяющих
