Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
т?, f во всех точках внутри (5), за исключением точки $ = х,г\ =)>,$= г,
где она
обращается в бесконечность как - , г = \/(х - I-)2 + (у - ij)2 + (z - f
)2.
4w
и которая удовлетворяет внутри (S) (за исключением указанной точки)
уравнению Лапласа, а на поверхности (5) обращается в нуль.
Функция, удовлетворяющая этим условиям, называется функцией Грина,
которую мы будем обозначать через G(x,y, t\ %,т},$) или иногда просто
через 6'. Эта функция, как известно, играет весьма важную роль в анализе
и в его различных приложениях к математической физике. Однако до
сравнительно недавнего времени не было строго установлено даже само
сущест-
*) Рассматриваемая задача приводится, следовательно, к задаче Гаусса. 348
рование этой функции для более или менее общего класса поверхностей, не
роворя уже о различных ее свойствах, которыми тем не менее постоянно
Пользовались при различных изысканиях. Полученные выше результаты
Позволяют нам доказать основные свойства этой функции с надлежащей
строгостью для всех поверхностей, к которым применим принцип Робена, а
затем распространить полученные выводы на все поверхности Ляпунова.
Положим
1
G = Г + - . (60)
4тгг
Так как G должно удовлетворять уравнению Лапласа, то Г также
удовлетворяет уравнению
ДГ = 0 внутри (5) (61)
и притом представляет собой функцию от ?, т?, ?, непрерывную вместе со
своими производными первых двух порядков по {, т\ и f во всех точках
внутри (5), где бы ни находилась точка х,у, г внутри рассматриваемой
поверхности *). Точку x,y,z будем называть полюсом функции Грина.
Так как, далее, функция G должна обращаться в нуль на поверхности (5), то
функция Г должна удовлетворять условию
Г = -------- на поверхности (5). (62)
4тгг
Определение функции Грина G сведено к отысканию функции Г при помощи
уравнений (61) и (62), т.е. к частному случаю задачи Дирихле, когда
(63)
4тгг
Легко видеть, что в рассматриваемом случае мы имеем дело с задачей
Гаусса, ибо при любом положении полюса функции G внутри поверхности (5)
функция / имеет определенные производные по {, т/ и f на поверхности (5);
они удовлетворяют условию Гельдера, и, следовательно, функция /, как и
функция wb п. 17, удовлетворяет условию (141) (гл. 1).
На основании теоремы V111 предыдущей главы функция Г представится в виде
потенциала простого слоя по формуле (77), где под L0 нужно подразумевать
нормальную производную от потенциала двойного слоя
1 COS \D
Wx =- If-т- ds,
2ir r
а в этом последнем под / - функцию, определяемую равенством (63). Отсюда
сейчас же следует, что функция Грина имеет правильные нормальные
производные на поверхности (5).
Таким путем приходим к следующей важной теореме^
Теорема III, Для всякой поверхности фяпунова, к которой приложим принцип
Робена, и , в частности, для всякой конвексной поверхности су-
*) Отметим, что это рассуждение использует теорему об устранении
особенности и доказывает единственность функции Грина. Доказательство
теоремы III на него не опирается. {Прим. ред.)
349
шествует функция Грина, которая может быть представлена в виде потенциала
простого слоя и которая имеет, следовательно, правильные внутреннюю и
внешнюю нормальные производные на рассматриваемой поверхности.
Коль скоро доказано существование нормальных производных от функции
Грина, можно считать строго установленной и теорему Римана.
Теорема Римана. Функция Грина симметрична относительно переменных х, у,
г, и 1т), f, т.е.
G(х, у, г; 1tj, f) = G($, 17, f;х, у, г).
Доказательство, излагаемое в сочинении Римана "Schwere,Electricitatund
Magnetismus" (Hannover, 1880, стр. 143), становится вполне строгим на
основании предыдущей теоремы.
19. Только после того, как установлено существование правильных
нормальных производных от функции .Грина на поверхности (5) (теорема III
), можно с надлежащей строгостью доказать известную формулу,
представляющую в весьма простом виде решение задачи Дирихле при помощи
функции Грина. Ввиду важного значения этой формулы приведем сначала
обычное ее доказательство.
Предположим, что функция / подчинена условию теоремы IX предыдущей главы.
В этом случае функция U, гармоническая внутри (5) и обращающаяся в / на
поверхности (5), будет иметь правильные нормальные производные на этой
поверхности, вследствие чего к функции U можно применить формулу (36) гл.
I , которую можно представить в виде
1 3(1/г) 1 bUt ds
U= -f -. (64)
4п дп 4п дп г
Применим теперь равенство (34) гл. I к функциям U и V = Г. Так как 1
Ut = /, Г = на поверхности (S) ,
4 яг
то
ЭГ, 1 3 U, ds
If-L ds ,
дп 4п дп г
вследствие чего равенство (64) принимает вид
/эг, t _L 30WN s \ Эи 4п дп /
т.е., на основании (60),
ъс
U=-Sf-ds (65)
дп
для любой точки х, у, г, лежащей внутри поверхности (5).
Изложенный прием доказательства требует, чтобы функция /' была ограничена
условием теоремы IX, т.е. чтобы задача Дирихле могла быть сведена к
задаче Гаусса. Если же это условие не соблюдается, т.е. функция /
