Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
применение получил метод малого параметра. Возникнув из теории малых
возмущений в небесной механике, этот метод был изложен впервые в
классическом труде Пуанкаре ([107а],
О МЕТОДЕ ПУАНКАРЕ
17
т. I, гл. III). Дальнейшее развитие метода наибольшим образом связано с
советскими школами и направлениями исследований. Основными в них являются
работы А. А. Андронова и А. А. Витта [3,4], Б. В. Булгакова [25] и И. Г.
Малкина [79а,б].
2.1. Дифференциальные уравнения порождающего решения и первых поправок.
Мы хотим, не претендуя на новизну результатов, показать, что для систем с
большим числом степеней свободы весьма полезным является использование
аппарата теории матриц и некоторых элементарных положений теории
операторов. Рассмотрим нелинейную систему к дифференциальных уравнений
второго порядка, представимую в виде векторного уравнения
//v •
M~di" + Q°~dt + P°v ~ 1 (*)-+ №(*• v> v> P)' (1Л)
где M, Q0, P0 суть постоянные вещественные матрицы порядка к X к, при
этом М и Р0 симметрические, а матрица Q0 - кососимметрическая: f (t) -
периодическая с периодом Т = 2л/со интегрируемая кусочно-непрерывная
вектор-функция; g (t, v, v, p) - аналитическая вектор-функция p при p =
О, T - периодическая по t и имеющая достаточное количество производных по
т и v в рассматриваемой области изменения переменных.
Будем искать Т'-периодические решения уравнения (1.1), являющиеся
аналитическими функциями р при р = 0:
v (t, р) = v(°) (t) + pv(!) (t) + p2v<2> (t) + . . .. (1.2)
Подставляя в (1.1), получим, что порождающее решение v<°) (t) должно
удовлетворять системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
^2у(°) jv(0)
ш1ж- + Qo^ir + p°v(0) = f (*). (!-3)
а первая и вторая поправки - системам
М ~Ж~ + Q° ~dT + P°v(1> = g v(0)> v(0)> °)'
+ Q.T+ = (?),/" + (f )/"> + (fV <1,4>
где индекс нуль у частных производных означает, что после
дифференцирования положено р = 0, v = v<°), v = v<°>. Символами dg/dv и
dg/dv мы будем обозначать ниже матрицы соответствующих частных
производных
18 ВВОДНАЯ [ГЛ. I
Для однородной системы, отвечающей системе (1.3)
Mi5^+Qo^ + Pov(") = 0, (1.5)
через X±j, . . X±k обозначим корни характеристического уравнения (X_v =
Xv)
det (Х2М + XQ0 + Р0) = 0 ' (1.6)
и через av - соответствующие собственные векторы
(Х?М + XvQo + Ро)щ = 0 (v = ±1, . . ±&).
Рассмотрим два случая.
2.2. Нерезонансный случай. Система (1.5) не имеет Г-периоди-ческих
решений,- для этого необходимо и достаточно, чтобы
=4= ipa) (v = il, . ¦ ., p = 0, ±1, ±2, . . .). (2.1)
В этом так называемом нерезонансном случае система (1.3) (и аналогично
системы (1.4) и последующие) имеет единственное Г-пери-одическое решение
(см. ниже). По теореме Пуанкаре [(107а], т. I, гл. III) (см. также
[79а]) ряд (1.2) сходится при р = 0, т. е. существует
единственное аналитическое по р при р = 0 Г-периодическое
решение исходной нелинейной системы уравнений (1.1).
Получим формулу для Г-периодического решения системы (1.3). Ограничимся
для простоты случаем Q0 = 0 и, не нарушая общности, положим М0 = Ift и
запишем уравнение
i!^L + P0v<o>=f(f) (Ро = Ро) (2-2)
в виде векторного уравнения первого порядка:
dx
dt
= Ах + h (f), х = (Т(0)) , А = (_°Ро , h = . (2.3)
Решение системы (2.3) с начальными условиями дается формулой (см.,
например, [146], п. II, 1.4)
t
х (t) - etA j^x (0) -f- ^ e~sAh (s) dsj .
Отсюда найдем для
t t+т
x(t + T) = eTAetA |"x (0) -f ^ e_sAh (s) ds § e~sAh (s) ds\ =
о t
t+T
= eTA ?x (t) -f- § e^"s>Ah (s) dsj .
§ 2] О МЕТОДЕ ПУАНКАРЕ 19
Заменим в последнем интеграле s на х - Т -\- t - "и выпишем необходимое и
достаточное условие периодичности х (t -f Т) - х (i):
т
еТА Гх (t) -f ^ c(T-:r)Ah (t - т) dx I = x (t).
Поскольку матрица I2h - eTA неособая в силу условия (2.1), то
единственное Г-периодическое решение системы (2.3) дается формулой
т
х (t) = [I2k - еТА]~1 ^ eTAh (t - т) dx. (2.4)
о
Для матрицанта etA найдем в силу (2.3)
etA = ( 003 (/РоГ1 sin (г ]/р") \
\- /Ро sin (t /р") со i (t /р0) / '
где введенные матрицы-функции определяются формулами [146],
(2.3), п. 1,2.1. Для первого множителя формулы (2.4), найдем
I ( I* (/p")-4tg (4* г/р")\
[Iafc - еГЛ]-1 = - 2
¦/P0ctg^4- T/pJ
что можно проверить умножением на I2k - exp (ТА). При этом для достаточно
малой по норме матрицы / Р0 имеем
ctg (4- т / Ро)=4- (УРоГ - 4- т уъ - же (4-:т у?")3 -¦¦¦¦
Для так введенных тригонометрических матриц-функций справедливы общие
формулы тригонометрии (см. [146], § I, 2). Поэтому из
(2.4) получим для единственного (при условии (2.1)) Г-периодичес-кого
решения системы (2.2) и его производной т
v(0)'(0 = 4" 5 (ypoT1sin(xYP0)((t - x)dx +
О
т
+4* (у /ir1 ctg (4~тУ р°)^cos (т у р°)f -т)dx'
(2-5)
(t)= ctg |4* Т У Ро)^ sin (т У Ро) i(t - x)dx +
О
т
+ 4* ^ cos (т ]/"Р0) f (t - г) dr.
20
ВВОДНАЯ
[ГЛ. I
2.3. Резонансный случай. Допустим, однородная система (1.5) имеет 2d (1
^ d ^ к) линейно-независимых Г-периодических решений. Тогда будут иметь
