Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
конечномерного случая аналитической теории воз-
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
мущений. Если известен общий интеграл невозмущенной системы, то
интегрирование полной системы согласно Пуанкаре сводится к квадратурам.
Последний параграф первой части посвящен колебаниям в системах типа
Ляпунова. Здесь излагаются некоторые результаты В. С. Нустрова [301а,б],
о содержании которых можно составить суждение по оглавлению.
Вторая часть книги также основывается на развитии одного из классических
методов конца XIX - начала XX века - теории нормальных форм (Пуанкаре,
Ляпунов, Г. Дюляк, К. Л. Зигель, Ю. Мозер, В. И. Арнольд, В. А. Плисс и
др.).
В работах А. Д. Брюно [234а - ц] получены обобщающие результаты цо теории
нормальных форм нелинейных аналитических автономных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений. Начало этому методу положил Пуанкаре [188].
На основе этой теории во второй части рассматриваются некоторые задачи
колебаний, описываемые названными уравнениями.
В гл. V приводятся необходимые для читателя сведения цо теории нормальных
форм.
Прежде всего (гл. VI) выделяется тот класс задач, в котором нормальная
форма имеет самый простой вид, доставляемый теоремой Пуанкаре, и
представление решения задачи Коши в общем виде может быть осуществлено на
каждом шаге приближения в эффективном виде. Сюда относятся демпфированные
колебательные системы (асимптотически устойчивые по линейному
приближению) с аналитическими нелинейностями общего вида. Результаты
иллюстрируются примерами механических систем с одной и двумя степенями
свободы.
Затем 'исследуются системы третьего порядка с двумя чисто мнимыми и
третьим отрицательным (§ VII, 1) или нулевым (§ VII, 2) собственными
значениями линейной части. Параграф VII, 1 завершается исследованием
колебаний в электромеханических системах "с полутора степенями свободы".
Наконец исследуются нормальные формы и резонансы, возникающие в
аналитических автономных системах четвертого (§ VIII, 1) и шестого
порядка (§ VIII, 4) с двумя и соответственно тремя парами различных чисто
мнимых собственных значений матрицы линейной части, но, вообще говоря,
неконсервативных. Приводится решение задачи Коши в общем виде с учетом
квадратичных членов. Для нормальных форм третьей степени обсуждаются
результаты, получаемые из критериев устойчивости А. М. Молчанова и Ю. Н.
Бибикова - В. А. Плисса. Предлагается построение функции Ляпунова в
случае консервативных систем, как непосредственного, так и по методу Н.
Г. Четаева связки интегралов, доставляемых нормальными формами третьей
степени. Результаты применяются к задаче А. Ю. Ишлинского о
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
движении гироскопической рамы чувствительного элемента ги-
рогоризонткомпаса (§ VIII, 2).
Обе части книги в первом приближении независимы.
Книга предназначена для математически образованных инженеров, научных
работников в области механики и прикладной математики, студентов старших
курсов и аспирантов физико-технических и физико-математических
факультетов.
Эта книга возникла из лекций, читанных автором на инженерном потоке
механико-математического факультета МГУ в 1956-76 годах. Благодаря
товарищеской поддержке коллег по кафедре прикладной механики МГУ часть
глав книги увидела свет в ротапринтном издании 1970-72 гг. [125].
Если автор чему-то может научить читателя в области теории колебаний и
устойчивости, то этим он прежде всего обязан преждевременно ушедшим от
нас Борису Владимировичу Булгакову и Николаю Гурьевичу Четаеву.
Целью предисловия было обрисовать книгу и ее место в самых общих чертах.
Уместнее было бы название "Некоторые прикладные варианты методов
нелинейных колебаний".
В книге принята нумерация формул по пунктам (подпараграфам), номер
параграфа не указывается. При ссылке на формулу другого параграфа в номер
формулы вносится номер параграфа, при ссылке на формулу другой главы
впереди ставится номер главы, отделяемый запятой от последующих цифр. Это
правило справедливо и при ссылках на параграфы и подпункты.
Автор
Часть первая КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ЛЯПУНОВА
Глава I ВВОДНАЯ
§ 1. Преобразование систем Ляпунова
В системах Ляпунова ([77а], §§ 33-45; [79а], гл. IV; [796], гл. VII)
может быть понижен порядок на две единицы, если воспользоваться
интегралом энергии и выбрать за .независимое переменное, как это делал
Ляпунов, полярный угол в плоскости критических переменных.
Преобразованная система [322д - ж, к, о, У" ф] будет неавтономной и
содержащей параметр, равный квадратному корню из приведенной постоянной
энергии. Если последняя достаточно мала по сравнению с единицей, то к
преобразованной системе может быть применен метод Пуанкаре ([107а], т. I,
гл. III) определения периодических решений неавтономных систем (см. § 2 и
гл. III). Особый интерес применение метода Пуанкаре представляет в тех
случаях, когда для исходной системы метод Ляпунова ([77а], §§ 34-45;
[79а], §§ 26-29; [796], гл. VII, §§ 1-4) отыскания периодических решений
