Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Старжинский В.М. -> "Прикладные методы нелинейных колебаний" -> 13

Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний — М.: Наука, 1977. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladniemetodi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 87 >> Следующая

^=6) условия асимптотической устойчивости исследуемого движения (2.2)
запишутся в виде (2,5.5'):
Re (Q"%, ay) >0 (/ = 1, . . ., 6).
Матрица pQi°\ вычисленная для системы (2.1), такова:
N1 -f hcn 0 - he и 0 hc33 0
0 М + hcn 0 - hc12 0 hcu
- Леи 0 hc2 j tfiv/; hc2з 0
0 - Леи - Kivfl hc2 2 0 he23
hcl3 0 hc23 0 "j" X2 0
0 Ле13 0 hc23 0 Лс(r)3 + Лхз
где
М = тп (х0 +njl), fk = mev2Z)_1(v)Z)lfe (v) (к = 1, 2).
Условия асимптотической устойчивости чисто-вынужденных колебаний
прядильной центрифуги в развернутом виде представятся следующим образом:
Ы (и0 + xj§D21 (ыу)2 + Ax2D23 (ыу)2 +
+ hma>2D21 (о>у)2 -/щ>у (K0v (о>у)2 -
h(f - Aa>))D23 (ыу)2 > 0
6).
Здесь D2k (ыу) - алгебраические дополнения к соответствующим элементам в
фундаментальном определителе системы (2.1).
Из анализа условий асимптотической устойчивости можно сделать вывод о
том, что практически в устройствах, подобных рассмотренной здесь
центрифуге, силы внутреннего трения не могут нарушить асимптотической
устойчивости вынужденных колебаний, вызванных неуравновешенностью ротора.
Глава II
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
Два следующих параграфа посвящены плоским колебательным цепям. В первом
параграфе [322г] эти цепи свободные и целиком упругие, т. е. если речь
идет о механических системах, то рассматривается система материальных
точек, связанных невесомыми пружинами. В четвертом параграфе [322в]
нарушается одно из этих условий, именно некоторые из пружин заменяются
невесомыми стержнями, а в одном из примеров к тому же движение некоторой
из масс стеснено направляющими, - колебательная цепь перестает быть и
целиком упругой и свободной.
На первый взгляд это частные вопросы механических колебаний. Однако такое
представление ошибочно. Даже в механических задачах можно рассматривать
стержень как колебательную цепь и трудно решить, что лучше отражает
действительность - сплошная или дискретная модель. Если же рассматривать
и электродинамические системы, то аналогии еще более глубокие. Отошлем
читателя к книге JI. И. Мандельштама [80] (ч. I, лекция 29; ч. II, лекция
12). В § III, 2 будет выяснена связь колебаний частиц в циклических
ускорителях с колебаниями пружинных маятников; это лишь один из многих
примеров.
§ 1. Свободные, целиком упругие колебательные цепи
1.1. Определение понятия колебательные цепи. Рассмотрим механическую
систему, стесненную голономными и не зависящими явно от времени связями.
Пусть qx, . . ., qn суть лагранжевы координаты системы, a qx, . . ., сп -
соответствующие обобщенные скорости. Допустим, что обобщенная сила,
соответствующая координате <7V, может быть представлена в виде
<?v (<?1> • • •> Яп) tfv (^х> • - •) Я п) (v = 1, . . п).
Здесь Qw и R, - непрерывные и дифференцируемые функции своих аргументов в
области их определения. Для выделенных сил сопротивления будем
предполагать, что их работа на любом возможном перемещении (совпадающем в
рассматриваемом случае
38 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ [ГЛ. II
с одним из действительных) отрицательна:
- 2 <0. (1.1)
v=l
Отсюда и из непрерывности следует, что
i?v (0, . . 0) = 0 (v = 1, . . п).
В простейшем нелинейном случае, когда i?v = / (qy) (v = 1,... . . ., п),
условие (1.1) означает, что а/ (а) 0 (а Ф 0), а требо-
вание непрерывности означает, в частности, что / (0) = 0. В линейном
случае условия (1.1) означают, что диссипация полная.
Кинетическая энергия Т системы в силу независимости связей явно от
времени будет квадратичной формой обобщенных скоростей с коэффициентами,
зависящими лишь от лагранжевых координат
П
Т = dxj (?1" . . ?n) iP'ji = Z? / = 1, . . Tl),
i* j-1
Уравнения движения в форме Лагранжа второго рода запишутся в виде
?"•¦"< + ? - т ??) м = Q- - я, (1.2)
х=1 i,J=l
(V = 1,..., п).
Попытаемся по отношению к переменным qlt . . ., qT, qlt . . .
. . (г ^ в) изучить устойчивость в смысле Ляпунова невозму-щенного
движения
?v = ?vo(0, ?v = fvo (0 (V = 1, . . ., Tl). (1.3)
Для возмущенного движения значения координат и скоростей обозначим
?v = ?vо (t) + Xv, = ?v0 (0 + xv (v = 1, ..., n).
Дифференциальные уравнения первого приближения возмущенного движения
(уравнения в вариациях) могут быть представлены в виде
СВОБОДНЫЕ, ЦЕЛИКОМ УПРУГИЕ ЦЕПИ
39
где
1=1 It-1
-у(з5^),]'гя('>'"(')}"(^г). (v,'' = i (1-в)
а индекс нуль при ovi и частных производных означает подстановку в их
значения
Яю (О" • • •" ЯпО (О" Я10 (О" • • ¦" ?пО (О1
Условимся называть исходную механическую систему "колебательной цепью"
относительно невозмущенного движения (1.3), если возможно выбрать такие
лагранжевы координаты, при которых коэффициенты (a"i)o" Ki (О и cv; (t)
таковы, что для некоторого натурального тп <^п
М о = 0 (1-7)
(v = 1, . . m, i = m + 1, . . га; v = m -J- 1,
. . n, i =
= 1, . . ., /га),
bv* (0 = (^7)0 (v.* = 1. ¦••."). (!-8)
(wr)"=° <19>
(v = 1, . . m, i = tn + 1, . . ., n; v = m + 1, i =
= 1, . . ., /га),
cvi (J) = 0
(v = 1, . . m, i = m + 1, . . ., n; v = m + 1,
. . n, i =
= 1, . . ., m)
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed