Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Старжинский В.М. -> "Прикладные методы нелинейных колебаний" -> 8

Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний — М.: Наука, 1977. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladniemetodi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 87 >> Следующая

место 2d равенств
= ip/n (j = + 1, ..+ d; p4 = - pj, аз = ~j ,
а для, остальных корней характеристического уравнения (1.6) неравенства
Ф (^ = ± (d + 1), • • •, ±fe),
где р; п р суть целые числа. Запишем 2d Г-периодических вектор-решений
системы (1.5) в комплексной форме
у[±> = (/=_- 1.d). (3.1)
Выясним необходимые и достаточные условия существования Г-периодических
решений у системы (1.3) в рассматриваемом резонансном случае. Пусть u (t)
и w (t) - вектор-функции, допускающие интегрируемые кусочно-непрерывные
вторые производные на отрезке [О, Т\, и значения вектор-функций и их
первых производных на концах отрезка равны:
u (Т) = и (0), и (Г) = й (0),
w (Т) = w (0), w (Т) = w (0).
Тогда имеет место формула ')
т т
^ (Mu + Q0u + Р"и, w)dt =5 (и> + Qow + Pow)dt- (3-2)
о о
Действительно, по формуле (Ах, у) = (х, А*у) имеем т
^ (Mu + Q0u + Р0и, w) dt =
о
rp гр Т
= ^ (и, Mw) dt - ^ (и, Q0w) dt + ^ (и, p0w) dt
0 0 0
и применяя для второго интеграла и дважды для первого интеграла
интегрирование по частям, получим формулу (3.2). Допустим, что у системы
(1.1) существует периодическое решение v (t, p.).
х) Если
то (х, у) = ^тц + ...-)- 1^% (черта над скалярными величинами означает
комплексно-сопряженную величину).
§ 2] О МЕТОДЕ ПУАНКАРЕ 21
Подставляя его и какую-нибудь из 2d функций (3.1) в формулу
(3.2), получим тождества по р
т
5 (f(f) + pg(f,v, v, р), = 0 (/-l,.."d), (3.3)
О
поскольку
Mvjjp + QoV^ + P0v}jP = 0 (i = 1,.. ., d).
Полагая в (3.3) р = 0, получим т
§ (f(0. vj^) dt = 0 0'=1,..., d).
о
Будем предполагать эти равенства выполненными; вычтем их из тождеств
(3.3) и, сократив на р, получим тождества
т
^ (g(t, v, v, р), vj^dt = 0 (/ = 1,..., d). (3.4)
О
Положив в них р = 0 и подставив vj*) из (3.1), получим, что порождающее
решение v(0>(t) в резонансном случае необходимо удовлетворяет следующим
2d условиям:
т
ф, = 5 e-iviat (g (", v(0), V"), 0), a,-) dt = 0 (3.5)
(/ = + 1,..., +d).
Порождающее решение v(0)(?) будем искать в виде
v(°) = w(o) (t) + ^ (?-,• = lh P-i = - Pi),
i=-d
где vv(°) (t) - некоторое частное периодическое решение системы
(1.3). При этом (3.5) представляют собой систему 2d уравнений х) для
определения комплексных чисел ?_<г, . . ., ?<г - уравнения
для порождающих амплитуд. Обозначим через . . ., ^0) ре-
шение системы (3.5). Можно показать, что если якобиан системы уравнений
(3.5) отличен от нуля, т. е.
Д (4>-d. • • •¦ 4>d) ' 0
Д(Й8.-.-. Й0))
г) Эти уравнения получаются из общей в теории операторов теоремы фред-
гольмовского типа.
22
ВВОДНАЯ
1ГЛ. I
то решение (1.2) существует и является аналитическим по р при
р = 0.
Приравнивая в тождестве (3.4) члены с р, р2, . . ., получим
г
(/ = + 1> • • •> + d), (3-6)
где индекс нуль означает, что после дифференцирования положено р = 0, v =
v'°i (<), v = v(0) (г).
2.4. Уравнения в вариациях для периодического невозмущенного движения.
Принимая (1.2) за невозмущепное движение, составим дифференциальные
уравнения возмущенного движения
V = V (г, Р) + У
и выпишем их первое приближение, т. е. систему уравнений в вариациях
м -fir + Qo + Ро> = р (If) у + ^ ('Ц)лГ '
где в частных производных после дифференцирования подставлено
невозмущенное движение (1.2): v = v (t, р), v = v (t, p). Введем
обозначения для матриц-функций
р (И) = _ рр р)-
Разложим эти последние в ряды по степеням р:
рР (г, р) = pPj (г) + р2Р2 (<) + ••¦, pQ (г, р) = pQj (г) + p2Q2 (г) + .
. .,
где
причем индекс нуль означает, что после дифференцирования положено р = 0,
v = v<°) (t), v = v(0) (t). Представим векторное уравнение, записывающее
систему уравнений в вариациях, в виде
+ [Qo + pQi (t) + p2Q*(<) + •••] +
+ (Ро + pPi (t) + p2P* (t) + •••] у = 0. (4.2)
Мы получили систему линейных дифференциальных уравнений с Г-
периодическими коэффициентами.
5 2] О МЕТОДЕ ПУАНКАРЕ 23
2.5. Случай различных мультипликаторов невозмущенной системы уравнений в
вариациях. Рассмотрим систему уравнений в вариациях (4.2) при р = О
M$ + Q"l+p"y-°- <5-'>
При условиях Мт = М > О, PJ; = Р0 > О, QJ = -Q0 все корни ее
характеристического уравнения (1.6) чисто мнимы:
кч = i'cov (v = ± 1, . . ., dtk; to_v = - cov). (5.2)
Допустим, что все мультипликаторы системы (5.1), отвечающие периоду Т
рч = еш',т (v = 4hl, ..., +/с), различны: рх Ф pv, т. е.
cox=?cov ^modco = -^ (%, v = + 1, ..., + к).
Иначе говоря, каждый класс сравнимых по модулю 2п/Т чисел cov состоит из
одного числа. Характеристические показатели системы уравнений в
вариациях равны ([146], п. IV, 3.4)
ctj (р) = iuj - iojj sign/-p + О (р2) (/ = ±.......1...±к),
где *)
det [-cofM -f icOj-Qo + P0] = 0,
Ojj = - ([Pi0) + i<o,Qi0)]a" a,), (5.3)
T T
P<0)= ± ^ Pl (t) dt, Qi0) = 4- 5 Qi (t) dt
о 0
и а, суть нормированные собственные векторы (-cojM + icOj-Qo + Р0)а,- =
0,
([2со;-М - iQola,-, а;) = sign / (/ = ± 1, . . ., ±к). (5.4)
Для вещественных частей характеристических показателей системы уравнений
в вариациях (4.1) будем иметь в рассматриваемом случае
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed