Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Старжинский В.М. -> "Прикладные методы нелинейных колебаний" -> 6

Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний — М.: Наука, 1977. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladniemetodi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 87 >> Следующая

окрестности ненулевых порождающих решений, а также исследоваться
переходные процессы. Порядок системы (1.9) на две единицы.ниже порядка
исходной системы (1.1), а коэффициенты ее нелипейной части суть
периодические функции й периода 2я и аналитически зависят от zls . . .,
zn и малого параметра р.
1.2. Системы уравнений второго порядка [322 к, о, у, ф]. Рассмотрим
класс систем Ляпунова, описываемых к + 1 уравнением второго порядка
+ Я2и = и (и, й, щ vk, ии ,. ., vk),
(2.1)
dv . .
-I- axiV± ахkvk = Vx (и, й, v\,. . ., vk, vi4 . . ., vk)
(x = l k).
Здесь Я 0, ajx = axj (x, / = 1, . . к) - вещественные постоянные, a U,
Vlt . . ., Pfc суть вещественные аналитические функции и, и, У], . . .,
vk, i\, . . ., vh, разложения которых начинаются с членов не ниже второго
порядка. Будем предполагать, что система (2.1) допускает первый интеграл,
который необходимо будет аналитической функцией переменных и, и, vlt . .
.,vk,vlt ... . . ., vh ([77а], § 38; [79а], § 25) вида
Я = и2 + Я2ц2 + W (v1} . . ., vh, v1} . . ., vh) +
+ S3 (и, й, vu . . ., vh, vk) = p2 (p > 0), (2.2)
где W - квадратичная форма, a S3 означает совокупность членов
не ниже третьего порядка. Подстановка Ляпунова ([77а], § 33)
1
M = pcosd, и = -jj-psind, ^2.3)
vx - рzX} кх - рzk+x (х = 1, . . к)
приведет систему (2.1) и первый интеграл (2.2) к виду
•§- = Р2Д (р, О, *), 4г = Я + Р0 (Р" z)-
dz _
~ = zk+x + pZx(p, fl, z), (x =....1..к) (2.4)
dt
dzk+x
flxjZi axkzk -j- pZk+x(pt й, z),
dt
p2 [1 + W (z) + PS (P, 0, z)] = p2. (2.5)
§ и
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМ ЛЯПУНОВА
15
Здесь R, 0, Zu . . Z2ft и S, как и в п. 1.1,- аналитические функции
переменных р, zlt . . ., z2ft в некоторой окрестности нулевых значений,
разложения которых по степеням р начинаются, вообще говоря, с членов
нулевой степени, коэффициенты степенных рядов по р, zlt . . ., z2ft суть
периодические функции ft периода 2л, именно:
Zk+x = p~2Vx (А,-1р sin ft, р cos#, pz) - zft+x Я (р, ft, z),
S = p~3iS3 (Я-1р sin ft, p cos ft, pz)
и z есть вектор с компонентами zlt . . ., z2ft. В предположении, что 1 +
W (z) 0 в (2.5) (см. п. 1.1), разрешим (2.5) относительно р:
р = [1 + W jl - ± [1 + W (z)]^ 5 (0,ft, z) p} + О
(p3).
Предположим p настолько малым, что правая часть второго уравнения (2.4)
положительна, т. е.
и введем фазовое время ft, для чего разделим последние две группы
уравнений (2.4) на второе:
Запишем результат подстановки разложения (2.7) в последнюю систему:
X [Zt+X(0, ft, z) -р К 1 (axiZi -р axkzk)Q (0, ft, z)] -р О (р2).
R = р-2?/ (Х_1р sin ft, р cos ft, pz) cos ft,
0 = - р~2U (Я_1р sin ft, р cos ft, pz) sin ft, Zx = -zxR (p, ft, z), (x =
1, . . ., к),
(2.6)
(2.7)
I + p (ft, z; p)0 (p (ft, z; p), ft, z) > 0,
dzx _ Ч+х + P (ft. z; P) Zx (p (ft, z; p), ft, z) rfft к + p
(ft, z; p) 0 (p (ft, z; p), ft, z) '
- axizi - ¦ ¦ • - Vfc + p (ft. z; p)Z/c+x(p (ft. z; p). ft. z)
^ + p (ft. z; p) 0 (p (ft. z; p). ft. z)
(x = 1,..., к).
к = Zk+X -P p [1 -P W (z)]-'P \ZX (0, ft, z) - Г^+х0 (0, ft, z)] -f
+ 0(p4), (x = 1,. . ., к), (2.8)
dz
к -js- = - axiZ! + . . . - axlszk -p p [1 + W (z)]-'i" X
16
ВВОДНАЯ
[ГЛ. I
Из полученной системы исключим z/i+1, . . ., z2ft; будем иметь
92zx ¦ - - 9Z"
~dW~ a*lZl + • • • + axkzk - И' [1 + W (z)]~',! [Zfc+x + X -gg \-
-f- 2% 1 (axiZ! -f- ... -f- a^z^) 0 -
I* Jc If
¦ 90 dZx
~%Z"lRF+XlL^Z'i- XZx + E (Z* ^
j=i i=l j=i 4
92fc+j 92fc+j
X
X (ttjiZi.-f- • • • 4- ЯуЛ)] + ^ (l^2) (и - !>•••> Щ- (2.9)
Здесь в аргументах всех функций (а для частных производных после их
взятия) р положено равным нулю, а компоненты гц+1, . . .
. . ., z2(c вектора z заменены соответственно на Xz[, . . ,,Хг'ь (штрих
означает производную по Ф). Мы учли также, что производная от W (z),
взятая в силу дифференциальных уравнений первого приближения, равна нулю,
т. е.
j-i j=l
ибо W (z), как следует из интеграла (2.2), есть интеграл невозмущенной
(т. е. при ц = 0) системы (2.8).
Заметим, что если U, Vu . . ., Vh не зависят от Ь1У . . ., v k, как это
имеет место в ряде приложений, то последняя сумма в квадратной скобке
(2.9) равна нулю.
Мы не останавливаемся здесь на случае исходной системы Ляпунова второго
порядка, в частности, механической системы с одной степенью свободы.
Наличие первого интеграла позволяет свести интегрированиетакой системык
квадратурам. Для консервативной голономной системы с одной степенью
свободы периодическое решение будет зависеть от двух произвольных
постоянных (например, начальных значений определяющей координаты и ее
производной) и, следовательно, будет являться общим решением. Все это
достаточно широко освещено в литературе. Заметим лишь, что подстановка
Ляпунова (1.4) (или (2.3)), ряд (1.8) и второе уравнение (1.5) могут дать
наиболее приемлемый вид периодического решения. Мы отсылаем читателя к §
4, гл. VII монографии [796] И. Г. Малкина.
§ 2. О методе Пуанкаре определения периодических решений неавтономных
квазилинейных систем
Из различных методов в теории нелинейных колебаний значительное
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed