Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ы - Ь1 > Ь2 - Ь2 - + у 4 (pi _ 1)2 Si >
где ?j0) - любое из вещественных чисел, не превосходящих по модулю У4-
2IV(р2-I)2. Для последнего решения якобиан п. 2.3
О
-D(ti. ta)
to сГЧ ?2)
Г -/0) г 4х-^ , V-42
и, основываясь на п. 2.3, нельзя утверждать, что существует аналитическое
по р при р = 0 2л-периодическое решение, для которого порождающим
решением является
|<(r)> = -jjzii sin 1 + ?i0> cos К + Ca0) sin pt.
Для дополнительных исследований отсылаем читателя к [3].
Обратимся к первому решению уравнений (7.2), т. е. ?1 = ?2 == = 0 Якобиан
Р (14. ta) | _ J_ Л2р2 ' Р оТ2 -i- п
28 ВВОДНАЯ [ГЛ. I
при I ф V2 (р2-1), и согласно п. 2.3, существует аналитическое по р при р
= 0 решение. Из первого уравнения (1.4) будем иметь для- первой поправки
в случае четного р
= (р2 -I)2 t1 " 4(р2 - I)2]C0S 1 +
+ 4(р2-1)'(р2-9) C0S 3t + ^ C0S Pt + 112 Sin pt'
где и определяются из уравнения (3.6). Условием устойчивости остается
(7.1).
Пример 2. Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений ([140], стр.
117):
% + 'Hi = Р (1 " Л? - Па) 'Hi + Р7 cos t,
Па + "аПа = Р (1- П* - 'П^'Па. (7-3)
где р 0, q < 0, о>2 i> 0 и о)2 Ф - т (т - натуральное число). Корни
характеристического уравнения (1.6) суть
- +i, - -4- co2t
и, поскольку со = 2я/Т = 1, то имеет место резонансный случай: = -1, рх -
I, X:p2 Ф pi (см. начало п. 2.3). Порождающее 2я-периодическое решение
системы (7.3) будем искать в виде ц20) = 0,
'П1°) = + ~?ie~u = 2Re (bieu) = 2ax cos t -2pxsin t,
при этом обозначено -f- грх. Вычислим теперь левые части
системы уравнений (3.5)
= 2я [-1- q - ili (1 - ?i?i)] , фх = 2я Я + 1 (1 - ?i?i)j •
Выпишем уравнения (3.5), складывая их и вычитая, получим
?1 ^(i-a? - pi) - о, 2f"! (1-- рь = о.
Отсюда найдем, что ах = 0, а рх должно быть корнем кубического уравнения
/(Pi) = Pi-Pi + 4-? = °- (7-4>
При q < -4/3/9 это уравнение имеет только один вещественный корень pi0) 2
/3/3, а при -4 /3/9 < q < 0 один положительный корень р[0) (1 < pi(r) <
2]/3/3) и два отрицательных различных корня Рх и Рх (Рх < pi ). Итак,
порождающее решение сис-
О МЕТОДЕ ПУАНКАРЕ
29
темы (7.3) имеет вид г|40) = О,
^0)eit + |(0_2piSin t
rif
(40) = (7.5)
где удовлетворяет уравнению (7.4). Вычислим якобиан системы уравнений
(3.5)
_ D(t_i. ti)
4я2 [(1 - 2$<0%°>)а - gre"'] = 4л2 (3pi - 4fi+l)
Якобиан D обращается в нуль только при рг = -р ]АЗ/3 и рг = = Т 1.
Поскольку Pi0) 1, то шрй ¦p.= 'Pi°) якобиан отличен от нуля. Далее,
случай ^ =+1 невозможен, поскольку / (=Fl)<0. Поэтому якобиан D равен
нулю тогда и только тогда, когда Pi = -V3/3, т- е- ПРИ 9 - -3/9- Здесь
этот случай исключается, как требующий дополнительного исследования. Во
всех остальных случаях решение (1.3) существует и является аналитическим
по р при р = 0. Система уравнений (1.4) для первой поправки примет вид
ii!1) + ц)1' = - 201 cos Зс Рг1' + "2П21' =
3D
(1)
2 (!)
откуда
п?°-
Угеи + У1 + 4- Р? cos 3*, = 0.
Далее нужно определить порождающую амплитуду первой поправки, на чем мы,
однако, не будем останавливаться, а перейдем к исследованию устойчивости
решения (1.2).
Уравнения в вариациях (4.2) для системы.(7.3) и порождающего решения
(7.5) суть
+ №(<) +
-^Г + [Ро + P'Pi (t).+ •••¦] у - о,
где
Ро =
0 (о^
Pi (О
О"" = -($).-<-
Таким образом,
( dg\ _|.4p(r)sin2t О "Wo "I О О
1 + 2$ -2ft cos 2t) I2.
Pi
(2)
Pi"2) =
2ф1 0 0 0
Qi0) = (-l + 2pi)I2, Qi2) = Qi-2) = - Pil2, I2 =
(2)
| (-2)
а все остальные коэффициенты Фурье матриц-функций Рг (t) и (t) равны
нулю.
30
ВВОДНАЯ
[ГЛ. I
Корни уравнения (5.3) суть (о_х = 1, Юх = 1, ю_2 = - и ю2. Собственные
векторы ах и а2 матрицы Р0, нормированные условиями (5.4), суть
ai = 7?ei' a2==ykfe2'
Имеется класс из двух корней {<В-х, (Ох), соизмеримых по модулю 2л/Т = 1,
а все остальные корни по условию ю2 Ф ~т пе соизмеримы с ними и
несоизмеримы между собой, и образуют два класса по одному корню: {о>_2} и
{ю2}. Начнем с класса из двух корней и определим целые числа т-х и т1 из
выражений
to-х = 0 + (-1)1, (Ох = 0 + 1-1, откуда т_х =- 1, тх == 1. Вычислим Ojh
по формулам (6.1) а_1_х = оГх - -jp (2f>\ - 1), cr_ii = Oi_x = Pit
X + "2~(-'' 1 + 2Pi)J - р{_
и составим уравнение (6.2) о_х_1 + Ч
Ох-х Он - Ч Корни его
Xi = -i-(i_pf), ха=-г(1-зр!).
При Рх = pi0) > 1 Хх и х2 отрицательны. При Р = PJ < 0 или Рх = Рх* < 0
(что возможно лишь при q ^3/9) хх положительно, ибо из (7.4) имеем
1-рГ=-^>о, 1-рг2=4-^>°-
z Рх z Рх
В силу заключения п. 2.6 периодическое решение (1.2) с порождающими
амплитудами - 2р* и -2р" (см. (7.5)) - неустойчиво. Для суждения об
устойчивости периодического решения (1.2) с порождающей амплитудой 2Рх0)
надо обратиться к оставшимся двум классам {<В-2} и {ю2}. Вычислим ¦&_2 и
по формуле (5.5')
"а 1-2Р?
D2 = - (Qi а2> аг) = -2ш^- ' ^~2 = ^2'
При Рх = Рх0) 1 'О'г отрицательно. Таким образом, периодическое решение
(1.2) с порождающей амплитудой 2Рх0) асимптотически устойчиво.
Следующий пример выделим в отдельный параграф.
§ 3} ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯДИЛЬНЫХ ЦЕНТРИФУГ 31
