Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
чисто-вынужденных колебаний устройства. Этим колебаниям соответствует
периодическое решение исходных дифференциальных уравнений (1.1),
определять которое будем методом Пуанкаре. Предварительно исходную
систему трех дифференциальных уравнений (1.1) второго порядка
относительно комплекснозначных функций us (/ = 1, 2, 3) запишем в виде
одного вещественного векторного уравнения (2,1.1)
где xt = г], х2 = I, хэ = alt х4 = рх, хъ = ф, хв = ft, а функции (/ = 1,
. . ., 6) находятся в результате расщепления соответствующих комплексных
уравнений системы (1.1); матрицы
причем <734 = К0\, qi3 = - Кй\, а остальные элементы матрицы Q0 равны
нулю.
В результате расщепления исходной системы комплексных уравнений (1.1)
определяется матрица Р0, которая оказывается для исследуемой системы
симметрической и положительно-определенной. Элементами этой матрицы
порядка 6x6 являются коэффи-
[44, 66].
MS"+ Qcfr + poV = f(0 + f*g(*, V, v). (2.1)
Здесь введены следующие обозначения: векторы
v =
f (t) = тех2, о \:
" ,. •. 8 з
fig (f, V, v) = fi gi
M = diag (m, n, Къ Klt A, A), Q" = || Qjh I
fi.
2 В. М. Старжинский
34
ВВОДНАЯ
[ГЛ. I
циенты Су = Cfty, С33 + f (/, к = 1, 2, 3). Таким образом, вектор v
представляет собой координаты устройства, а вектор-функция pg (t, v, v) -
периодическая по времени t с периодом Т = 2n/v.
Будем искать Т-периодическое решение уравнения (2.1) в виде ряда (2,1.2)
по целым степеням малого параметра р, ограничиваясь при этом первой
поправкой к порождающему решению:
v (t, р) = vW (t) + pv" (t) + . . . (2.2)
В результате применения известной процедуры (см. п. 2.1) получаем
векторные дифференциальные уравнения (2,1.3) -для порождающего решения, а
также (2,1.4) -для первой поправки. Характеристическое уравнение (2,1.6)
для однородной системы
(2,1.5) имеет следующий вид:
[det (Р0 -Мв)12 + {[(сп + шГ)(с3°з + / + AV) -cls]K0v}W= 0.
Оно, очевидно, имеет чисто мнимые корни Яу = шу(/ = =F 1, • • • . . .,
=р6). Предполагается, что среди этих корней нет чисел вида ipv (р = 0,
+1, =р2, . . .; i = Y -!)• В этом случае уравнение для порождающего
решения, а также каждое из последующих уравнений будут иметь единственное
Г-периодическое решение. Фактически эти решения целесообразно находить,
вновь обратившись к комплексной записи исходных уравнений. Тогда
порождающее решение представится следующим образом:
4k-i + = mev2D~1(v)Dlk (v)exp (ivt) (к = 1, 2,
3).
Напомним, что xf* (/ = 1, . . ., 6) - компоненты вектора v<°>
порождающего решения, а величина DXk (v) представляют собой
алгебраические дополнения к соответствующим элементам в фундаментальном
определителе
D (v) = det (-v2M + ivQ0 + P0).
Здесь:
M = diag (m, Ku A), Q0 = diag (0, - ivK0, 0),
CU -Cl2 -c13
cl2 c22 c28
ClS ^28 C33 + /
Первые поправки определятся так:
Р (жаЙ-х + ix$) = IT1 (v) S rjD]k (v) (к = 1,2, 3).
j=i
§ 3] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯДИЛЬНЫХ ЦЕНТРИФУГ 35
В последних формулах введены следующие обозначения: агр (/ = 1, . . 6) -
компоненты вектора v^,
Гн = g*k-i (t, v<°>, VW) + ig2h (t, v<(r)>, v") (ft = 1, 2, 3).
Таким образом,;
Г! ==r ivme [к. + Ki (mev^(v))2 j (l + т^("(у)) exp (M),
Гг = _ (mev4)u(v)J KiV, ^ exp ^
r3 = - ivAx2 me^v1)s(v) exp (ivt).
Аналогично находятся последующие приближения.
3.3. Исследование устойчивости. Известно, что физически реализуются
только устойчивые движения. Поэтому найденное в предыдущем пункте
периодическое решение необходимо исследовать на устойчивость, что дает
также возможность определить области существования периодических движений
центрифуги. Для исследования устойчивости составим уравнения в вариациях,
принимая за невозмущенное движение найденное периодическое движение.
Обозначим вектором у малое отклонение от невозмущенного движения; тогда
возмущенное движение представится так:
V = V (t, р.) + у.
Подставляя возмущенное движение в систему (2.1), запишем уравнения в
вариациях в векторной форме (2,4.2), ограничиваясь при этом членами,
содержащими р в первой степени:
+ [Qo + M-Qi(0 + •••]"^jr + [Ро + М-Р 1 (0 + ...]у - 0. (3.1)
В исследуемом случае, как было отмечено выше, все корни
характеристического уравнения чисто мнимые и все мультипликаторы системы
(3.1) при р = 0, отвечающие периоду Т = 2я/\>, различны.
Характеристические показатели системы (3.1) определятся формулами
(2,5.3):
a j (р) = ш} - 1о" sign /р + О (р2) (/ = qp 1, . . ., +6),
где О)) = - ([Pi0)+ icojQ(r)] a j, a7), и a / - нормированные собственные
векторы
(-а|М + i(o}Q0 + Р0)а; = 0,
([2(o;M - i'Qolap а;) = sign j (J - 1, , . ,, ^6).
2*
36
ВВОДНАЯ
[ГЛ. I
В качестве компонентов собственных векторов можно взять следующие
величины:
Ап (<*>;)
я^1 =
; д22(<о;)
= Cj, а
где
0);
(2) Д21 aj ~ D^7) '
(в) _ да (<¦>,)
} Ав((r)у) а - +1 j • • ч+6),
(в) _ Д23 ("}) aj ~
Ай (шу)
у) Г1 .
И 81
sign),
Аа(м/ ' 2А>у/ 1 "Ли(ш/
а для суждения об устойчивости в случае различных мультипликаторов
нормировка не существенна.
Вследствие вещественности величин (Pi0)ay, ay) (j - + 1, . . . . . .,
