Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
2.6. Применение метода последовательных приближений (221).
Краткие литературные указания.......................................
Литература.........................................................
Предметный указатель................................................
ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние десятилетия в теории нелинейных колебаний можно заметить
преимущественное развитие исследований, основывающихся на классических
методах конца XIX - начала XX века. Примером тому является развитие
метода малого параметра в монографиях А. А. Андронова, А. А. Витта и С.
Э. Хайкина [4], Б. В. Булгакова [25], И. Г. Малкина [79а,б], развитие
метода усреднения из метода Ван-дер Поля (Н. Н. Боголюбов и Ю. А.
Митропольский [17, 85г], В. М. Волосов и Б.\ И. Моргунов [33]), новая
теория возмущений В. И. Арнольда [218], основывающаяся на классических
методах возмущений, метод F-фун-кций Г. В. Каменкова [54], т. II,
базирующийся на фундаментальных результатах Ляпунова - Четаева.
Вместе с тем в теорию нелинейных колебаний проникали и новые методы:
асимптотические методы, развитые Н. Н. Боголюбовым, Н. М. Крыловым и Ю.
А. Митропольским [17, 72, 19, 85в], функционально-аналитические методы,
введенные М. А. Красносельским [67а,б; 273а - г] и его школой [68, 69],
метод точечных преобразований, развитый А. А. Андроновым и А. А. Виттом
[3,4] и Ю. И. Неймарком [94а,б], стробоскопический метод Н. Минор-ского
[183а,Ь,с], осцилляционный метод Ф. Р. Гантмахера - М. Г. Крейна [36],
метод определения условно-периодических движений А. Н. Колмогорова и В.
И. Арнольда [261, 218]. Понятие новизны метода, разумеется, относительно,
если вспомнить, например, что еще до Ван-дер Поля усреднение применяли
Эйлер, Лагранж и Лаплас. Впрочем, это замечание для будущих
исследователей.
Первая часть книги посвящена сочетанию методов Ляпунова, Пуанкаре и
метода усреднения при изучении колебаний систем Ляпунова и систем,
близких к ним. Представляет интерес исследование колебательных систем,
описываемых аналитическими автономными дифференциальными уравнениями, не
содержащими малый параметр. В консервативном случае (системы Ляпунова)
известен метод Ляпунова определения периодических решений. Однако
доставляемое методом Ляпунова периодическое решение
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
зависит только от двух произвольных постоянных. Поэтому для систем более
чем с одной степенью свободы оно не может быть общим по своей природе,
кроме того, известны случаи, когда метод Ляпунова отказывает. В § 1,1
развито преобразование исходной системы, намеченное Ляпуновым, при
котором порядок системы понижается на две единицы и вводится параметр,
равный корню квадратному из величины приведенной- энергии, а сама система
становится неавтономной. Если этот параметр достаточно мал, то к
преобразованной квазилинейной неавтономной системе применимы методы
малого параметра.
Предложенный вариант метода оказался эффективным в ряде задач, в
частности, в задаче о перекачке энергии. Первым ее этапом является
установление исходного периодического режима и определение областей его
неустойчивости в пространстве параметров системы на основе математической
теории параметрического резонанса [796, 146]. Второй этап решения
заключается в отыскании периодических режимов, возникающих при
критических значениях параметров и отличных, разумеется, от исходного.
Этот этап основывается на указанных выше преобразованиях и применении к
преобразованной системе метода Пуанкаре определения периодических решений
для неавтономных систем. Однако к преобразованной системе можно применять
и другие методы малого параметра, например, метод усреднения, позволяющий
провести третий этап решения - исследование переходного процесса, часто
называемого перекачкой энергии. Все три этапа проиллюстрированы в гл. III
на примерах пружинного маятника, маятника на упругой подвеске и
бетатронных колебаний частиц в циклических ускорителях со слабой
фокусировкой. Заметим, что задача о перекачке энергии основывается на
общей теории колебательных цепей, развитой в гл. II.
Перейдем теперь к применению теории возмущений (§ IV, 1). Допустим, что
невозмущенная нелинейная автономная система ляпуновского вида (2&+2)-го
порядка возмущена аналитическим и достаточно малым по норме
демпфированием. Проводится преобразование возмущенной системы, при
котором невозмущенная система может быть преобразована в квазилинейную
неавтономную систему 2А;-го порядка. Предполагается известным ее решение
для достаточно малого по сравнению с единицей корня квадратного из
начального значения приведенной энергии системы. Для цервой и последующей
поправок соответствующего (т. е. с теми же начальными условиями) решения
возмущенной системы составляется полная система уравнений в вариациях по
параметру - последовательность неоднородных систем линейных
дифференциальных уравнений (2А; + 1)-го порядка с переменными
коэффициентами. Полная система записана в операторном виде для общего
