Полупроводники - Смит Р.
Скачать (прямая ссылка):
нумерация уровней не так проста, как в отсутствие вырождения при к=0.
12.5.1. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ В СИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Если мы рассмотрим плотность состояний для одномерного распределения
значений kz, то найдем важное отличие от трехмерного распределения.
Обозначив энергию %k\l2me через Ек, найдем, что N(Eh) пропорционально
(см. [1], стр. 29) а не ?'/¦, как для
трехмерного распределения. Это означает, что при kz=0 мы.имеем бесконечно
высокую плотность состояний. В разд. 10.4.2 мы видели, что строго это
имело бы место в отсутствие столкновений, т. е. при условии Вр^>1. Это
условие пока находится в силе, поскольку приведенный выше анализ был
выполнен в предположении, что электроны и дырки движутся в кристалле
свободно.
Если мы учтем кинетическую энергию электрона в направлениях х и у, то
увидим, что при возрастании до значений, намного пре-
12. Влияние сильных электрических и магнитных полей
443
Я S
2.4 2.** >.-г
1.4 0.4
0.4
Рис. 12.5. Стягивание уровней в "лестницу" Ландау и их расщепление из-за
наличия спина.
Рис. 12.6. Плотность состояний в сильном магнитном поле.
вышающих единицу, энергетические уровни, соответствующие kx и kv,
стягиваются в ряд дискретных уровней, которые, следовательно, оказываются
сильно вырожденными. Это иллюстрируется рис. 12.5. Можно оценить это
вырождение и вычислить число состояний в каждом уровне Ландау. Мы
убедимся при этом, что в сумме они дадут то же значение, что и раньше.
Если магнитное поле мало и имеется много уровней Ландау в малом интервале
ЬЕ, то мы снова получим то же число уровней, что и без магнитного поля
(см. [11, § 12.3.1).
Чтобы получить выражение для зависимости плотности состояний от энергии
Е, мы должны провести суммирование по уровням Ландау. Для единичного
объема получаем
w<^=?t§^E[?-(',+t)N',/*. (|2л0)
444
12. Влияние сильных электрических и магнитных полей
Эта зависимость изображена на рис. 12.6. Нетрудно показать, что если
расстояние между уровнями Ландау мало и мы заменяем эту сумму интегралом,
то получим просто значение N (Е), которое дает формула (4.12а).
12.5.2. ЦИКЛОТРОННЫЙ РЕЗОНАНС
Если на кристалл падает излучение с энергией кванта, равной
энергетическому расстоянию между уровнями Ландау, то между ними будут
возбуждаться переходы. Правило отбора для гармонического осциллятора
Дл=±1 (см. [1], § 1.7) показывает, что могут осуществляться только
переходы между соседними уровнями. (Однако из-за наличия связи возможны и
намного более слабые переходы с Ап=2, которые также наблюдаются.)
Переходы с Ап=± 1 происходят при частоте излучения шс/2я и обусловлены
просто циклотронным резонансом. Квантовая теория приводит, следовательно,
к тому же результату (за исключением слабых переходов с Ап-2), что и
полуклассическая теория, которая была рассмотрена в разд. 10.4.1.
Для случая эллипсоидальных поверхностей равной энергии с эффективными
массами ти т2, т3 уравнение (12.35) можно записать в более общем виде
где Аг - компоненты вектор-потенциала по трем основным осям.
Если В направлено по одной из осей, скажем по оси 3, это уравнение
после простого преобразования можно решить, как и ранее. Получим (см.
[1], § 11.4)
?=*^+*".д. ("+!/?). (12.42)
2т3 ^ ("!",) /* v '
Круговая частота циклотронного резонанса со8 равна, следовательно,
еВЦт^т^ч*. Аналогично, если поле направлено по осям 1 или 2, круговые
частоты coi и ш2 соответственно равны eBI(m2 /n3)I/* и еВ/(т1т3у/' ¦ С
помощью последующего преобразования координат можно легко показать, что
для магнитного поля в направлении (/, т, п) циклотронная частота сос
дается формулой (см. [11, § 11.4)
со2 = /2со2-{-/л2(о2-{-/12< (12.43)
Эго совпадает с (10.61), но теперь результат получен с помощью квантовой
теории.
Если энергия не задается точно выражением (12.38), то расстояния между
уровнями Ландау не будут одинаковыми, и произойдет уширение линии
циклотронного резонанса. Столкновения также вы-
12. Влияние сильных электрических и магнитных полей
445
зывают уширенне. Как мы увидим позже, изменение энергетического зазора
между соседними уровнями Ландау легче наблюдать с помощью метода
оптического поглощения, исследуя переходы между дырочной и электронной
"лестницами" уровней. Приведенные выше уравнения для электронов в равной
мере применимы и для дырок, но они не учитывают гофрирования валентной
зоны, обусловленного вырождением в точке к=0 (см. разд. 11.6).
Взаимодействие между этим гофрированием и спином электрона дает большое
количество деталей тонкой структуры валентной зоны. Латинджер и Кон 1351
рассмотрели этот вопрос теоретически. Строение' валентной зоны Ge
экспериментально исследовали Флетчер, Ягер и Мерритт 1361, а также
Стнклер, Цайгер и Хеллер 1371, которые провели более подробные измерения
и при температуре 1,2 К разрешили большинство линий тонкой структуры,
используя излучение с длиной волны 2 мм. Баттон и др., используя лазерное
излучение в далекой ИК-области (см. разд. 13.4), разрешили также тонкую
