Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
где порядок С, поскольку р и q рассматриваются как целые положительные
или отрицательные числа, по меньшей мере равен \p-\-q\-
Глава 8
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЕ
§ 8.01. Введение
В ряде параграфов этой главы мы будем заниматься малыми ва-риациями
координат, составляющих скорости и их функций. В качестве иллюстрации
рассмотрим простой пример движения частицы по прямой линии, согласно
уравнению движения х = ? (/, х), решение которого может быть представлено
следующей функциональной зависимостью:
x = F(t, а,, а2), (1)
где а, и а2 — постоянные интегрирования.
Из равенства (1) находим
6F
x — -gr = G(t, ар a^. (2)
Мы можем, если пожелаем (как это обычно делается во
многих
практических задачах), в качестве постоянных интегрирования взять
начальные условия: jc = jc0 и jc = jc0 при / = 0.
Уравнения (1) и (2) определяют два семейства кривых с параметрами dj и
а2, причем любой кривой из каждого семейства соответствуют частные
значения at и а2. На рис. 19 кривой АВ мы изобразили график функции F(t,
<tv a2) для частных значений at и 72, а кривой EF — график функции О (t,
dp а,). Линии CD и ОН —
11 У. Смарт
162
Глава 8. Канонические уравнения
соседние кривые, соответствующие значениям а,+ 801, и a2 + 8a2
параметров.
Для каждого данного момента t точке Я на кривой АВ будет соответствовать
точка Я, на кривой CD. Таким образом, мы имеем смещение PPV
соответствующее вариациям 8а, и 6а2. Ордината точки Р есть х, и если
ордината точки Я, обозначена через х-\-Ьх, то смещение ЯЯ,. равное 8jc,
будет функцией от 8а, и 8а2, выражаемой формулой
8* = |?8ai+-|?-’8a2- (3)
Аналогично смещение точки Q на кривой EF, вызываемое вариациями 8а, и
8а2, равно QQ,. Ордината точки Q есть х, и если мы
обозначим ординату точки Q, через jc —(— 8jc, то смещение QQ,
будет
равно 8х. Из формулы (2) имеем
8i = -^8‘.+-?r8“2’ (4)
нли, выражая через функцию Р,
8* = -ЖГЗГ8а1 + -3?ТЖ8а2 • <5)
da, dt 1 ~ да2 dt
Из равенств! (3) находим
it^=wk^+-wk^-
Поэтому, учитывая соотношение (5), можем записать
dt
Фх) = Ьх = ь(^у (6)
Если 8 и d рассматривать как операторы, то равенство (6) может
быть представлено в виде формулы
d • Ьх = 8 • dx, (7)
которая показывает, что эти независимые операторы подчиняются
коммутативному закону.
§ 8.02. Вариация функции
Рассмотрим сначала движ этом случае уравнения дв
x — fxit, х, у, z), y = fi(t, х, у, z), z = f3(t, х, у, z).
Рассмотрим сначала движение частицы в трехмерном пространстве. В этом
случае уравнения движения имеют вид
§ 8.02. Вариация функции
163
Общее решение этих уравнений будет включать шесть постоянных
интегрирования (I — 1, 2, ..., 6) и может быть представлено в виде
х = Fx(t, a), y = F2(t, а). z = Fa(t, а). (1)
Отсюда мы находим
х = Ох (/, а), у =* 0.2 (/, а), z = Oa (t, а). (2)
Вариациям 8а, (/ = 1. 2...6) соответствуют равенства
Ъх==^^ГЫ‘' 8i==S^6a' <3)
1 1
плюс аналогичные соотношения для у и г. Таким образом, шести независимым
вариациям постоянных а будут соответствовать независимые вариации трех
координат и трех составляющих скорости. Так как число равенств (3) равно
шести, то мы имеем необходимое число уравнений, чтобы однозначно выразить
любое 8а через 8лг, .... bz.
Рассмотрим теперь функцию времени t, координат и составляющих
скорости. Обозначим ее через ?(/, х z). После использования
уравнений (1) и (2) эта функция примет вид <р (/, а), а ее вариация ср
будет выражаться формулой
8<P = S^8a‘- (4)
С другой стороны, мы имеем
8*=2(1г8*+!И- (5)
гуг
Если 8лг. 8лг, ... даются формулами (3), то вариации ср, определяемые
формулами (4) и (5), равны друг другу.
Таким образом, мы можем при помощи формулы (5) выразить
вариацию функции через независимые вариации Ьх, Ьх которые
в свою очередь зависят от вариаций шести параметров а{.
Эти рассуждения, очевидно, могут быть распространены на любое число
материальных точек. Если это число равно п, то полное число координат
будет равно 3п, которое мы обозначим через k, и полное число постоянных
интегрирования будет 2k. В общем случае вариация функции <р (/, x[t х{,
...), где /= 1, 2, ..., п, дается формулой
•»-!!(?•*'+? «4 <б>
И*
164
Глава 8. Канонические уравнения
в которой 8х, Ьх, ... —независимые вариации, рассматриваемые как функции
от вариаций 2k постоянных интегрирования, или параметров а,.
§ 8.03. Обобщенные координаты
Рассмотрим п материальных точек с общим числом координат, равным Л(=3«),
причем эти координаты являются функциями времени и k независимых
переменных, обозначаемых через qv q2, • • •• qk. Тогда мы можем написать
xi~ Fiit. qv .... ?*)• = Ч\ ?*)•
zt = Ht(t, qk), (1)
или, более кратко,
xt = Fi(t. q). — q). zt = Ht(t, q). (2)
Величины q называются обобщенными координатами.
Простым примером преобразования (2) является преобразование прямоугольных
координат в сферические координаты посредством формул
х = г cos <р sin 0, у = г sin <р sin в, z = r cos в.
Это преобразование не содержит времени. Здесь г. о и 0 могут
рассматриваться как три координаты q.
