Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
р0.
Теорема, которая будет доказана в следующем параграфе, относится к
решениям канонических уравнений, когда постоянные интегрирования,
входящие в S(q, a, t), принимают любую из возможных форм, отмеченных
ранее.
§ 8.12. Теорема Якоби
Эта теорема состоит в следующем.
Если S(q. a, t) — любой полный интеграл уравнения
# + "(«• -f • ') = »• (1)
выраженный через время t, k величин q и ft независимых постоянных
интегрирования а,, .... аЛ, и полученный любым методом, то уравнения
- (y-ft-Pl <2>
и
dS (4- «• 0 _ о /Зч
dq, — Р‘'
где / = 1, 2 k, определяют общее решение 2k канонических
уравнений
• дН(q, р, f) •_ дН(q, р, t) ...
4l~ 6pi ’ Pl---------------------dqi----' ()
В уравнениях (2) величины {3 — независимые постоянные, и также
предполагается, что функции р, независимы.
Так как функция S известна, то группа уравнений (2) дает нам возможность
найти любую координату q в виде
?/ = ?/(*.«. Р)- (5)
Тогда из уравнений (3) мы можем получить р, в виде
р, = р,Ц. а, р).
(6)
$ 8.И. Теорема Йкови
181
Продифференцируем равенства (2) по /. Тогда, так как q — функция /. мы
получим
d»S , V &S х _л daidq!4! — "'
или, используя уравнение (3),
+2 <п
Полсгавим вместо р их значения из формул (6) в уравнение
дЩ*й+Н(я1 pi /) = 0 (8)
и продифференцируем по а,. Тогда
d*S , vr дН др,
^ Щ ' "дч ~~0> ^
Вычитая равенство (9) из равенства (7), получаем у«1
Обозначая — (dH/dpj) через х, и полагая последовательно
/=1,2 к, мы будем иметь к уравнений, линейных относи*
тельно х:
^Pi r I дрг „ I I дРк г л
da, да, Х+ U-
&*.+ +?*,-».
&*.+....................
Так как р,, р2, .... />*— независимые функции, то
^ (/*1* РЬ ? ? * * Pft) t Q ^(«1. «» «*)
или, выражаясь иначе, определитель ft-го порядка, составленный из
коэффициентов Xj, xv .... х*, не равен нулю. Следовательно, мы должны
иметь
X, — J?2 ... ass Xj, ——- О,
182
Глава 8. Канонические уравнения
С другой стороны, продифференцируем соотношение (3) по /. Тогда
d»S , Vi d*S
• _ d*S , V •
dt dqt 6qj dqt t/*
У-1
или, используя равенство (11),
« _ *S _1_ V W /1№
^ <W ^ dpj ’ dqj dqt ' ' '
Кроме того, при помощи соотношений (3) можно представить pt в виде Pi =
pt(q, а. /)• Поэтому, дифференцируя уравнение (8) по q, и замечая, что Н
содержит qt как явным образом, так и через посредство р, мы получим
d3S , дН , v, дН др. Л
Wdfi + ~dqi + Zi~di) ' ~dqi~ °* (13)
Так как, согласно формуле (3).
dpj _ d3S И<П ~~ dqt dqj ’
то из уравнений (12) и (13) мы немедленно получаем
дН dqi '
Л—-яг- (14)
Так как уравнения (11) и (14) являются каноническими уравнениями. то
теорема доказана.
§ 8.13. Частные случаи уравнения Гамильтона — Якоби
1) Н—функция только q и р.
В этом случае t не входит явно в Н, так что H^H(q, р). Тогда, так как
• дН • дН
4—др' р==~ W
то, как и в § 8.07, существует интеграл энергии
//sconst=3a|.
§ 8.14. Пример
183
Из уравнения Гамильтона — Якоби имеем
dS dt
/14
At — *»• (О
Поэтому
5 = — ej/ -f- 5j, где S,— функция, не содержащая явно t.
2) В Н отсутствует одна координата q,.
Если q, не входит явно в И, то
dq, U-
Поэтому р, = 0 и, следовательно,
р, — const = ау (/=? 1).
Мы тогда имеем
Цгч ®
поэтому
S = afl,-\-Sv где S2 — функция, не содержащая q,.
3) Н не содержит одной координаты q, и времени t. Очевидно, что 5 будет
иметь вид
S = — (/=?1), (3)
где S' не содержит ни /. ни q,.
§ 8.14. Пример
В этом параграфе мы продолжим пояснение общего метода на примере,
рассмотренном в §§ 8.05 и 8.08. Перепишем формулу (8) § 8.08 для Н в виде
H{q, р, /) = -? (р\ Ч-^Н- 2nq2px — 2щр2) — U =
= 2 (^i Н" пЧ*Р-\-\ (Рг — nq,)2 — п2 (у2 —J— — U. (1) Уравнение
Гамильтона — Якоби тогда примет вид
ТГ + Т^+'Ч'*) +т(ж~ nb) -Ъп2(я\ + Яг)-и = 0‘
(2)
184
Глава 8. Канонические уравнения
Так как t не входит явно в формулу (1), то, согласно соотношению (1) §
8.13, будем иметь
dS
dt ~ а‘
и, таким образом, после подстановки —а, вместо dS/dt в уравнение (2)
уравнение Гамильтона — Якоби запишется в виде
(Jf-+"ft) +(^”“ n<h) =«2(<7? + 02) + 2f/ + 2a1. (3)
Так как в этом примере две степени свободы, то общее число постоянных
интегрирования будет равно четырем, именно а, и а2 Pi и р,.
Математически задача, следовательно, состоит в том, чтобы выразить dS/dql
и dS/dq2, удовлетворяющие уравнению (3). через t, qx, q2 и постоянные
интегрирования а, и а2. Как оказывается в этом примере, форма зависимости
функции U от qx и q, такова, что мы пе можем найти выражений для dSfdqx н
dS/dq2, идя по пути, указанному общей теорией. Но формально мы можем
определить функцию S, предполагая, что dS/dqx и dS/dq2 получены из
уравнения (3) и выражены через постоянные а, и а2. Мы будем иметь при
этом
dS dS . dS • . dS •
dt dt 1 dqt ' dqt
так что 5 задается формулой
причем аддитивная постоянная отброшена. Формальное решение задачи тогда
будет следовать из уравнений
dS _r dS _
dat dqi ^1'
где / = 1. 2.
§ 8.15. Общее применение метода Г амильтона — Якоби
Общее применение метода Г амильтона — Якоби в теориях движения планет и
