Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7.И. Интегральные формулы для коэффициентов Лапласа 145
или, на основании формулы (2) § 3.04,
1 Di_ s(s+l) ... (S + Л—1) ал
2 п~ л! ’ (1 — а2)* А
Х/7^. 1—5. я + 1; — Т—а» )•
Разложение (2) может быть немедленно получено из формулы (12) § 3.09,
если положить в ней ? = 0 и заменить р на —s, ар — на а.
§ 7.11. Интегральные формулы для коэффициентов Лапласа
Умножая обе части равенства (7) § 7.10 на cos л? и интегрируя
в пределах от 0 до к, получаем
pi_2 f cos n<f d<f
П * J (1—2a COS f -f- a2)f ‘ ' '
0
В частности, когда s =1 /2. имеем
Г cos n<fd<f — * J (l_2aC0S? + a’)'/. ‘ W
0
Затем из формулы (5) § 7.10, полагая в ней s = l/2, находим
J_ о'/а Г 1-3... (2я 1) I 1 1 • 3 . . . (2я 1) 2 I
1_п
2 °п L 2-4... 2л 2 ' 2-4... (2л + 2) * ' ’'J
и, принимая во внимание известную формулу
i Jsin2/l<рrftp ь3- -(2я~1)
2-4...2л
о
получаем
^B'k = a" Jsitfn<р^1 ~Н-j-sin2ср —(--g-sln^9—(- ...
так что
„2я
В1
*-2~п f/in 9 d9 (3)
* J if 1 — a* sin2
0
Интересно заметить, что из равенств (2) и (3) мы имеем
cos щ dy___________п„ г sin2" у tfy
„ . . — 2a cos <Р 4- a2 J
o' T 1 0
IQ У. Смарт
f cos n’i d’i ..n Г s|n2n 9 rf?
J у 1 — 2a cos <f -f- a2 j Y 1 — a2 sin2 f *
146
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Из формулы (3) при п — 0 находим
о где
В'1г = - f Л . ..d? = — F (а), (5)
я J \г 1 _ а2 sin2 9 я w
г2
/=?(«)=/ -7=4=== (в)
У 1 — a2 sin2 9 о 1
представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Кроме того, когда
п = 1. то
ТЦ
оЧг 4а Г sin2 9 <*9
Si =tJ рт=--------------------
_4_
ла
V1 —а8 Sin2 ф О г т
г к/2 к/2
Ф?
f r. .-?„==— Г У(1 —а2sin2®)dtp
J 1 — a2 sin2 9 J
0 r T 0
= ^ [/=»-?(*)]. (7)
где ?(а) — эллиптический интеграл второго рода.
Численные значения Е(а), F(а) могут быть найдены по таблицам для этих
функций, библиография которых приводится в «Указателе математических
таблиц» Флетчера, Миллера и Розенхеда (см. примечание на стр. 64)1).
§ 7.12. Различные формулы для коэффициентов Лапласа
1) Из формулы (6) § 7.10, заменяя в выражении для D 2 cos 9 на z-\-
z~l, мы имеем
ОО
[1+а2_а (* + *-1)Г* =-у 2#*". 0>
— ОО
Продифференцировав это равенство по г, получим
ОО
«(1 _*-2)[1-|-а2-а(г + *-1)Г4'1 = ^?лВ«*Я-1> (2)
—00
откуда
as (г — г -1) 2 ^ г" = [ 1 + а2 — а (г + г -1)] 2 пВ*„гп. (3)
') См. также: А. В. Лебедев, Р. М. Федорова, Справочник по математическим
таблицам. Изд-во АН СССР, 1956. — Прим. ред.
§ 7.12. Различные формулы для коэффициентов Лапласа
147
Приравняем в обеих частях равенства коэффициенты при zn~x. Тогда
as (В* _2 - BQ = (я - 1) (1 + а2) В* - а [(я - 2) В^2 + яВЦ.
Стало быть, если значения Во, В\ известны, то значения В\, В|, ... могут
быть последовательно вычислены. В частности, когда s=x/it
ческих функций, как уже упоминалось в предыдущем параграфе.
2) Мы можем записать равенство (2) в виде
Заменяя в формуле (4) я на я-f- 1 и s на s+ 1. мы будем иметь
Заменим в этой формуле я на я-f-1. Тогда она запишется в виде
Эта формула дает возможность нам вычислить значение Bj+1, когда значения
В*„ и В^ц известны.
Совокупность формул (4) и (9) дает возможность вычислять коэффициенты
Лапласа, когда численные значения ВК* и В1/* получены из таблиц
эллиптических функций или каким-либо другим способом.
откуда
(4)
значения В'1%, В'1*, ... могут быть легко найдены последовательно из
значений коэффициентов Воа, В'/1, полученных из таблиц эллипти-
00
по
as(l — 2-2) 2jBJ+V = ЪпВ*„гп~'-
(5)
—оо
(6)
аВ'ГЛ = [я (1 + а2) ВГ1 - а (я 4- s)
Поэтому формула (6) примет вид
Вл = [2aBit1, —(1 Ч-a2) В*+1].
(7)
Исключив B?t] и Bj+i из формул (6) — (8), мы получим
(я + s) (1 + а2) В*п — 2 (я — s + 1) аВ5„+, s(l—а*)*
(9)
10*
148
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Заменяя в формуле (4) /I на n-fl и используя затем эту формулу для
исключения Bsn+l из формулы (9), найдем, что последняя примет вид
D,+i 2«(n + s-l)B?_,-(n-s)(l-H2)B*
В„ =--------------------------------i(i'-«*)?----------------------------
---• <10>
Эта формула и может быть использована вместо формулы (9) для вычисления
В%+\
Кроме того, из формулы (9) и формулы, полученной из (9) путем замены п на
я-f-l, мы легко найдем, что
s (1 + а2) Я*+1 - 2asBsn++\ = (n + s) Я*. (11)
§ 7.13. Производные от Я^ по я
1) Продифференцируем формулу (1) § 7.12 по а. Тогда будем иметь
_ * (2а - z - *-i) Я*+1lzn в
— ОО — ОО
откуда, приравнивая коэффициенты при гп, получаем
^Цт = ^ № + Я*я+\ - 2аЯГ')- (1)
Используя равенство (9) § 7.12, выразим Яд!' через Я?_i и В%. Далее, по
формуле (10) § 7.12 выразим Яя+\ через Я„ и Я?+1 и Я„+1 через Я„_i и Я„.
Наконец, по формуле (4) § 7.12 выразим Я?+1 через Я?_1 и Я?. Тогда
формула (1) примет вид
-^- = y—^r{2(n + s—1)Яд_1 -{-[2as — n(a + a (2)
Как формула (1), так и формула (2) могут быть использованы для
вычисления dBs„/da.
2) Чтобы найти вторую производную от коэффициента Лапласа, воспользуемся
прежде всего формулой (7) § 7.10, именно
ОО
(1 —2acos<p + a2)“,= -5-5o + ^]Bjcosrt<p.
1
Продифференцируем ее по а. Тогда
