Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
где M = at-\-e — &, Mx = я^-j-e,— ш,, С—функция a, av е, elt f и i,, а I,
/р У, Ур k и kx—положительные или отрицательные числа (включая нуль).
Легко видеть, что вообще С является рядом по степеням е, ех, f и fp и
если мы предположим, что каждый из этих элементов имеет один и тот же
порядок малости, то порядок малости коэффициента С будет е^е^^, где а а,
+ р -)- (3, — наименьшая сумма индексов членов упомянутого ряда.
Уместно выяснить порядок малости отдельного члена вида (1). Для удобства
мы запишем выражение (1) в виде
С cos [(1я —J- /]Л|) t —(— А],
(2)
158
Глава 7. Разложение возмущающей функции
где величина h зависит от е, еР 2, 2,, ш, ш, и не представляет для нас
сейчас интереса.
Из предыдущих параграфов ясно, что члены возмущающей функции, не
содержащие z и zv появляются в результате перемножения выражений
(3)
дар да?[ др*
Рассмотрим сначала последнее выражение. Если $ четное, то, как легко
видеть, это выражение можно разложить в ряд, общий член которого имеет
вид Ak cos kp, а если s нечетное, то выражение это можно представить
рядом с общим членом fi^sinfcp, причем As и Bs являются функциями от а и
ар a
ср = (я — пх) t + е — еР (4)
Рассмотрим теперь первое выражение (3). Общее разложение радиус-вектора
по кратным средней аномали показывает, что порядок коэффициента при cosaM
равен еа; кроме того, если мы разложим р = г cos 9 и таким образом
получим и, то порядок коэффициента каждого члена, содержащего cos (ant +
q), относительно е или f будет снова равен а. Рассмотрим теперь величину
«2, которая может быть легко разложена в ряд с общим членом С cos (pnt -
f- q)- Этот член может появиться в трех случаях.
1. При перемножении периодической части в и и члена вида Сх cos (pnt +
q), если такой член имеется. Порядок величины С тогда будет по меньшей
мере равен р.
2. При перемножении членов вида
cos (ая/-|-(3) и C2cos[(jp — a) nt + 8],
где р > а. Порядок величин С в этом случае будет равен сумме порядков С,
и С2, т. е. сумме а и (р—а), или просто р.
3. При перемножении членов вида
С, cos {ant + р) и С2 cos [(a — p)nt-\- 8],
где а > р. Тогда порядок величин С равен сумме а и (а — р), т. е. равен
(2а — р), что больше р.
Мы заключаем, таким образом, что порядок члена С cos {pnt + q) в и2 по
меньшей мере равен р. Аналогичные рассуждения применимы к каждой степени
«, к каждой степени «,ик любой степени V.
Далее, если мы разложим первую из величин (3), то получим при четном s
члены вида
Ct cos [(рп + qnv) t + 5] или С2со$[(рп — ?ni)^-Mil>
§ 7.17. Замечания относительно разложения возмущающей функции 159
в каждом из которых мы можем рассматривать р и д как положительные целые
числа. На основании предыдущих рассуждений легко понять, что порядок С,
будет по меньшей мере равен р-\-д, а порядок С2— по крайней мере |р—f|.
Если s нечетное, то, заменяя косинусы на синусы, мы придем к тем же
заключениям относительно порядков малости, что и раньше.
Рассмотрим теперь произведение двух величин (3). Если $ четное, то мы
будем иметь произведение двух рядов по косинусам и их произведение будет
рядом, содержащим только косинусы; если $ нечетное, то мы будем иметь
произведение двух рядов по синусам, а их произведение будет рядом по
косинусам. Мы рассмотрим только случай, который содержит произведение
двух рядов по косинусам, поскольку рассуждения в случае произведения двух
рядов по синусам являются аналогичными.
В результате перемножения двух величин (3) получим члены вида
С cos \(рп + qnx) t + С] (5)
и
C'cosK/?/! — <7Я,)*—l-t'b (6)
в которых мы считаем р и q положительными целыми числами. Член вида (5)
появится в результате перемножения члена
C0cos &р = С0 cos I(A/t— Ал^ + У (7)
и члена
C,cos{[(/>— Л) + (^ + Л)л1]^ + С1} (8)
или
С2 cos {\(р + A) п + (q — А) «г1 /Ч- У • (9)
Далее, порядок величин С и С' в выражениях (5) и (6) совпадает с
порядком величин С, и С2 в выражениях (8) и (9), так как
порядок величин С0 в (7) нулевой, ибо С0 есть лишь функция от а
и av
Рассмотрим следующие случаи:
1) р > A, q > k. Тогда порядок величин С, по меньшей мере равен (р — Л) —
|— —1~ А), или р-\-д. Аналогичный результат имеет место и для С2.
2) р < k <.q. Тогда порядок величин Сх по меньшей мере равен
(? + *) — — Р)> или Р~\~д< а порядок С2 по крайней мере равен
(Р + *) + (? — *). или р + д.
3) р < k, q < k. Порядок величины С, по меньшей мере
равен
Сq-\-k) — (А — р), или p-\-q, а порядок С2 по крайней мере
равен
(p + k) — (А— д), или р + д.
160
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Следовательно, во всех случаях порядок величины С в выражении (5) по
крайней мере равен р-\-д.
Аналогично порядок величины С' в выражении (6) по меньшей мере равен | р
— q |.
Подобные рассуждения применимы к тем членам в возмущающей функции,
которые содержат координаты г и zv
Окончательно заключаем, что периодическая часть всзмущающей функции может
быть представлена в виде ряда по косинусам, общий член которого имеет вид
CcosKpn + ^f + C],
