Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Щ ’ Pi W, * { }
Эти уравнения и называются каноническими уравнениями Гамильтона.
В каждой конкретной задаче, в которой известно выражение функции U через
прямоугольные координаты, форма функции Гамильтона H(q, р, t) также
известна, как это легко видеть, рассматривая последовательные
преобразования функции Г, определяемой равенством (6) § 8.04.
Теоретические рассуждения этого параграфа будут подробно
проиллюстрированы в § 8.08.
§ 8.07. Интеграл энергии
Если преобразование прямоугольных координат в обобщенные координаты не
содержит времени, т. е. если x — x(q), то Т также не содержит времени
явно, так что Т—Т2 и, кроме того, U будет
§ 8.08. Пример (продолжение)
173
функцией только величин q. Так как p = dT/dq. то выражение для р через q
и q не будет содержать времени явно и, следова-
тельно, H = H(q, р). Поэтому, используя уравнения (17) § 8.06, получаем
Это равенство и есть интеграл энергии, полученный при указанных условиях,
причем Т — кинетическая энергия, а — U — потенциальная энергия.
§ 8.08. Пример (продолжение)
В § 8.05 мы получили уравнения Лагранжа, описывающие движение точки Р. В
этом параграфе мы выведем соответствующие канонические уравнения. Будем
исходить из равенств (8) и (7) § 8.05, полагая, однако, как и в общей
теории,
Следовательно,
Н=.Т — U = const.
5==ft. т)==<72.
Тогда эти равенства примут вид
где г, и г2 — функции qx и qv
Далее
от • от • .
px==-T-=qx—nqv р-2 = -г- 4- nqv
Отсюда
Я\ — Р\ "I" пЧч> Чч — Рч n4v
(3)
Из формулы (1) находим
т,-4 («?+»!)
(4)
и
*о—1*Ч«1 + Ф
(5)
174
Глава 8. Канонические уравнения
Используя формулы (3) и (4), получаем
Т* = fj — Го = у (р* + р\ + 2nq2px — 2nqlp2). (6)
Функция Гамильтона Н будет тогда выражаться формулой
H(q, р, 0 = у (Р? + Р\ + 2*72Р, — 2nqxp2) — U. (7)
Применяя теперь формулы (17) § 8.06, получаем канонические
уравнения в виде
Ч\ — Р\ + nq2, Чъ — Ръ — nqv (8)
. dU , dU
Pi = »Pa + 7fjT* ^ = <9>
Два уравнения Лагранжа (5) и (6) § 8.05, каждое из которых второго
порядка, заменены теперь четырьмя каноническими уравнениями, каждое из
которых первого порядка.
Примечание. Из формулы (1). согласно уравнениям (3), находим дТ _ dqx ~
Из равенства (6) имеем
дТ
^- = яд2 + л^1 = лр2.
дТ*
—л*-
Мы. таким образом, получаем подтверждение общей формулы (13) § 8.06 для
координаты qx и (при помощи аналогичного приема) для координаты q2-
§ 8.09. Формальное решение канонических уравнений
Канонические уравнения имеют вид
дН • дН
Pi ~Wi'
где / = 1. 2 k. Мы покажем, что общее решение этих уравнений может быть
получено, если мы знаем некоторую функцию S, удовлетворяющую уравнению в
частных производных, которое обычно называют уравнением Гамильтона —
Якоби.
Канонические уравнения (1) представляют собой систему 2k обык« новенных
дифференциальных уравнений. Предположим, что они полностью решены. Тогда
любое q и любое р будут выражены в виде функций времени и 2k постоянных
интегрирования, которые мы
§ 809. Формальное решение канонических уравнений
175
обозначим через сх, с2 c2k. Мы можем, таким образом, написать
q, = qt (/, с,. с2 с2„) (2)
и аналогично
Pi~ Pi(t< С\, с2, с2к). (3)
В уравнениях (1) функция Гамильтона Н выражена через q, р. t. Если мы
подставим вместо q и р их выражения из соотношений (2) и (3), то Н станет
функцией / и с. Мы тогда будем иметь
И {с, f)~H (q, p. f),
откуда, дифференцируя по Cj, находим
дН _ у дН dqt , у дН dpt___________________у dqi , у • dpt
dci 2u ~5q[ dci ' 2u dpi dcj 2u dcj '2d"1 dci ’
J lm\ J i-i ' i ' i '
или, выполняя простое преобразование,
* *
дН d у dqt . д у
dci dt 2d dcj ' dcj 2d ^l^1'
' l*\ ' ' Ы1
(4)
Но из формулы (6) § 8.06 имеем
2 Pfli — 2^2 + Г,,
а из формулы (14) § 8.06 —
Н = Т2 — Т0 — U. Поэтому равенство (4) принимает вид
/=i '
Пусть функция S(c, t) определяется уравнением
dt
Тогда уравнение (5) перепишется в виде
? = T + U. (6)
176
Глава 8. Канонические уравнения
Умножим это уравнение на вариацию осу и просуммируем все такие уравнения
по У от 1 до 2k. Тогда получим
Из соотношения (2) находим
<»)
7=1
Аналогично найдем, что левая часть уравнения (7) равна b(dS/dt) или, на
основании равенства (6) § 8.01, (d/dt)(bS). Поэтому уравнение (7) примет
вид
Интегрируя, получаем
85 = ptbqt 4- С, (9)
где С — постоянная.
Форма этого уравнения наводит на мысль о преобразовании функции 5 (с. t).
Мы разделим 2k постоянных с на две группы: а) Су и б) ck+j,
где в каждой из групп J = 1, 2...................k. Для удобства
обозначим
члены первой группы через ау, а члены второй группы — через fy, так что
Лу = Су и fy=cA+y.
Тогда равенство (2) примет вид
4i==4i(t. а. т). (10)
Число таких уравнений равно k, причем предполагается, что они
разрешимы относительно f, т. е. что мы можем представить лю-
бое f в виде
Ту = Ту(?, а, /)• (11)
Согласно равенству (10), k вариациям 8а и k вариациям of соответствует
следующее соотношение:
<12>
Таким образом, имеется k уравнений типа (12), из которых каждое 8f может
