Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
находим
s = (l —е1 — f2) f sin ?»)-(- ef sin (M + ?»]) +
+ ef sin(M — -^) —|—g- в2т sin (2 Af — ?»)) +
+-|- e2f sin(2M + T)) — -i-f3sin3T). (15)
Нужно заметить, что г, и X, отличаются очень мало от геоцентрического
радиуса-вектора Солнца Aj и его геоцентрической долготы X'. Из рис.
16 видно, что Д, я» гг (1 +xcosa), где х = рfrv
Но так как М/Е—1/81,5, г «384 ООО км, то р«4600 км и
хяа3 • 10-6«6". Если Да означает на рис. 16 угол ESC, то
Aa = xsina. На рис. 17 МТ — a, ST = A а. Если ф означает угол МТХ, то,
пренебрегая f2 и эксцентриситетом, получаем
X' — X, = Да cos ф = х sin a cos ф = — х sin (rj — Yjj).
Кроме того, широта Солнца 0' дается формулой 0' ?= Да sin ф = х sin a sin
ф = xf sin fj,
в которой Xf ж 3 • 10~6 я» .
3) Пусть ? определяется формулой
?==(я_я,)/ + е —е,. (16)
Тогда из равенств (11) и (14) имеем
X — Xj = S —|— 2 (в sin Л4 — ^sinMj)-!-
-f--|-(«2sin2M — e2sin2Mj) — ^ -у2 sin 2-xj. (17)
Если равенства (7), (13), (15) и (17) подставить в формулы (5) и (6), то
первые два слагаемых возмущающей функции R3 и R3
138
Глава 7. Разложение возмущающей функции
примут вид
Я2 = т2я2а2 j — Т2)-I-
+ (4-JTe2-T^-lT2)cos2; +
+ е |д cos (2- + М) — cos Af — cos (2; — Af) J +
+ ех [^- cos (2$ - Af,) + j cos Af, — | cos (2; + Af,)] +
-(- e2 cos (2; — 2M) +cos (25 + 2Л1) — -i- cos 2Af ] +
+ e\ [^- cos (25 — 2Afj) +J cos 2Л1,] +
+ m, [-g- cos (2'; — Af + Af,) + ^- cos (2; + Л1 — Af,) —
— | cos (Af + Af,) — 4 cos (25 + M + Af,) —
_|-cos(Al -Al,) — ^-cos (25 —Af —Af,)] +
+1T2 [cos (25-2t,) +cos 27)]} (18)
И. с достаточной для наших целей точностью,
*3 = -^(^-)(3cos5 + 5cos35). (19)
Если разложение для R требуется довести до более высоких степеней е, ех и
•{, то легко видеть, что R может быть представлена рядом с общим членом
вида
Arp cos qf • Г-P'cosqj x-\-Brp sin qf • r~^s\nqjv
где p, pv q и qx—положительные числа, такие, что р~>\ и
Pi > 2. С помощью формулы (15) § 3.09 член rpcosqf, например,
может быть представлен рядом вида ^Aj cos JE. Затем cos JE в соответствии
с формулой (7) § 3.11 можно представить в виде ряда 2 В* cos «М.
Окончательный результат запишется в виде ряда 2 С cos 0, где С — функция
от а, в,, е, ех и 7, а
0 = /А1 —(- /,Af j JQ —(- jx 2, —(- k&—(- Ajffij.
Здесь величины I, lx, j, jx, k, kx — положительные или отрицательные
целые числа, в том числе и нуль.
§ 7.07. Возмущающая функция в теории движения планет 139
§ 7.07. Возмущающая функция в теории движения планет
В теории Луны, как мы только что видели, разложение возмущающей функции
начинается с разложения по степеням г/г,, а затем производится разложение
по степеням е, е,, ^ и В теории движения планет отношение г/г, (или а/а,)
может быть значительным по величине. Например, для Венеры и Земли это
отношение равно 0,72, а для Юпитера и Сатурна оно близко к 0,5. Очевидно,
чтобы получить точность, сравнимую с той, которую дают наблюдения, нужно
было бы взять очень большое число членов в рядах степеней а/а, (или а,/а,
если а > а,). Поэтому сначала R разлагается в ряд по степеням
эксцентриситетов и наклонностей, которые рассматриваются как величины
первого порядка малости (обычно самое большее 0,1), а затем переходят к
разложениям по степеням а/а, или а,/а.
Величина Д выражается через гелиоцентрические координаты следующей
формулой:
Д2 = (* — *,)2 -f (у — у,)2 -f (z — г,)2.
причем zja и г/а, имеют первый порядок малости относительно т и т,
соответственно.
Пусть М на рис. 17 изображает теперь планету Р, эклиптическая долгота
которой Х = Л/Л!\ широта О = ХМ, а X, и б, — соответствующие величины,
относящиеся к планете Я,.
Пусть р и р, — проекции гиг, на плоскость эклиптики; тогда
X2 + У2 = Р2. Х\ у2 = р2, 4- уу, = РР, cos (X — \).
Пусть, далее,
X —X, = о, Д2 = р2 —2ppjCoso + p2. (1)
Тогда
Следовательно,
Д2 = Д? + (г-г,)2.
1 _ 1 1 (г-г,)* , 3 (г-г,)<
Д Д, 2 1} 8 д,
h--v (2)
1 О А-5 ' '
С другой стороны, второй член в R равен -от, =-ом,
Л И+«0*
coso ггх 3 p*2coso
.3 i) Л4
Pi 2 Pi
3 15 pi’jcoso
2f + Tl
(3)
140
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Разложения (2) и (3) могут быть получены с любой степенью точности
относительно малых величии z/a и zx/ar В последующем мы разложим R до
второго порядка относительно малых величин и в соответствии с этим из
разложений (2) и (3) будем иметь
R 1 р cos а 1 (z — zxf ггх | 3 pzjeosa
Р? 2 "рГ 2~р| (4)
§ 7.08. Разложение р, 9 и г
1) Из рис. 17 (стр. 134) имеем
sin 0 = sin / sin (L — 2),
где L — истинная долгота планеты, равная Y Далее,
с точностью до малых второго порядка находим
р = г cos 0 = г — г sin2 / sin2 (L — 2).
Во втором члене, не изменяя порядок величин, мы можем заменить г на a, L
на nt-\-e и sin/==(tg/cos/) на 7; таким образом, с точностью до членов
порядка у2 будем иметь
p — r — fl72sin2(«/-)-e — 2)==r — a72sin2,»j.
Тогда, используя формулу (7) § 7.06, мы с точностью до членов порядка е2
получаем
— = 1 -(--j е2 — -j72 — ecosAl — e2cos2Af -)--j2cos2r). (1)
2) Выражение для X с точностью до членов второго порядка дается формулой
